Файл: Калинчук, Б. А. Анализаторы инфразвуковых случайных процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

= ± Нт

Г ( і - Щ е - 1*1* R{x)dT = SDtf)-

Я г - 0 0

J \

Т I

 

—т

 

Однако вычисление дисперсии оценки, выполненное для нор­ мального процесса В. С. Пугачевым [35] (при условии ш + 0), приводит к следующему результату:

lim — D [STA(f)V = s U f ) .

Т — оо 31

Иными словами, безграничное увеличение интервала наблюде­ ния сигнала х {() не приводит к увеличению точности определения его энергетического спектра.

Одним из возможных методов, позволяющих получить состоя­

тельную оценку S D (/), заключается в

следующем [4]. Интервал

наблюдения функции х (/) разбивается

на п подинтервалов Т 0,

так что пТ0 = Тс) далее определяется п оценок Son по каждому из интервалов Т 0:

к Т „

. . п

1 2

]

е' 2л 1 X (t) dt

■

(ft-1) т„

 

 

Среднее арифметическое этих оценок при достаточно больших Т0 и п может быть принято за оценку So (f):

S o ( f ) = ± y ] s ' J n{f).

k = l

Математическое ожидание оценки сходится к S D (/) с нулевой дис­ персией при п, Т -> со.

Автокорреляционная функция процесса и его спектральная плотность, как следует из теоремы Хинчина [29], также опреде­ ляются парным преобразованием Фурье, что позволяет легко пере­ ходить от описания параметров х (t) во временной области к его характеристикам в частотной области:

J SD( f ) e i ^ d f ,

(2-18)

Я (т )= -fco

— СО

 

+ 00

(2-19)

S D{f)= j' R(x)er-l№dx.

—00

Из (2-18) следует, что средняя мощность случайного процесса (дисперсия) равна интегралу от спектральной плотности, взятому в бесконечных пределах:

-І-СО

(2-20)

R (0) = Dx = J SD(f)df.

123

При обработке действительных стационарных процессов выражения (2-18), (2-19) можно упростить, учитывая четность автокорреляци­ онной функции и используя соотношения Эйлера:

sin cp =

„/ф

Р —і Ф

 

 

 

(2-21)

-----—------>

 

 

 

cos ф =

е>Ф + е - /<р

 

 

 

(2-22)

------1--------

 

 

 

Запишем

 

2І

 

 

 

 

 

 

4-і*о

 

 

 

 

 

 

R ( т) =

 

 

 

 

(2-23)

2

(’ S (f) cos 2nfr df,

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

*Sß(/) =

+CO

 

 

 

 

(2-24)

2

f cos 2я/т tfr.

 

 

 

Обобщенная блок-схема

спектроанализатора,

работающего

по

 

b

 

 

 

 

показана

методу Фурье-преобразования корреляционной функции,

 

на рис.

2-9.

 

 

 

 

(()

 

 

Здесь входные сигналы л: (/) и у

 

сдвигаются один относительно другого

 

на

текущую величину

0 < т •

тш

 

с помощью блока задержки, пере­

 

множаются блоком

БУ 1,

накаплива­

 

ются и осредняются блоком БІіR.

Рис. 2-9. Блок-схема спектро­

Блок БНд выполняется, как пра­

вило, в виде многозвенного накапли­

вающего устройства, в каждом звене

тельного

корреляционного

анализа

анализатора, работающего по

которого

к концу

цикла

 

предвари­

методу Фурье — преобразова­

накапливается

величина,

 

пропор­

ния корреляционной функции

циональная значению ординаты функ­

ции корреляции R (т;). Число звеньев (ячеек

памяти) блоков БН%

выбирается обычно достаточно большим, в пределах от 20—30 до 100—120. Синхронизируемый блоком БС коммутатор К поочередно подключает ячейки БНн ко входу блока умножения БУ2, на вто­ рой вход которого с выхода генератора косинусоидальных функций ГКФ поступает с тем же временным шагом импульсная последова­ тельность, модулированная по амплитуде косинусоидальной функ­ цией частоты о),-, на которой определяется оценка спектральной

плотности 5о(со,-/2я).

Произведение

вида і? (/Дт) cos 2я/; (/Дт),

где Д т — длительность

подключения

/-й ячейки БНК ко входу

БУ2, поступают в блок накопления ординат кривой спектральной плотности БН3. Блок БН3 выполняется на основе реверсивных счетчиков или на базе усилителей постоянного тока, охваченных глубокой емкостной обратной связью. Получаемый в последнем случае линейный (в пределах + Unnr) интегратор достаточно часто применяется как в чисто аналоговых, так и в аналого-дискретных коррелометрах — спектроанализаторах.

124

Основой машинной обработки случайных процессов с целью получения их спектральных плотностей в настоящее время все больше становится метод, основанный на быстром преобразовании Фурье — БПФ.

Метод БПФ основан на использовании алгоритма вычисления конечного преобразования ряда из N (в общем случае комплексных) членов приблизительно за N log2УѴ вычислительных операций. Этот метод (алгоритм), был описан Кули и Тьюки в 1965 гг- [391. До этого считалось общепринятым, что для вычисления конечного преобразования Фурье ряда, состоящего из N членов, требуется примерно N 2 операций. Считалось также, что время вычисления можно уменьшить, используя только свойство симметрии тригоно­ метрических функций.

Алгоритм БПФ Кули и Тыоки является общим в том смысле, что он применим и в случае, когда N — составное число и при этом не обязательно является степенью числа 2. Если используются ка­ кие-либо делители г и 5 числа N, то исходные данные можно распо­ ложить в виде таблицы из г столбцов и S строк и определить дву­

мерное преобразование за N (г + S)

вычислительных

операций.

Для случая, когда N равно только

2Ѵ, алгоритм Кули—Тьюки

представляет собой описанный Ланцошем метод [41].

Основные

положения метода БПФ и специфика его использования подробно освещены в [44, 50].

Для непрерывных апериодических функций времени широко

распространенным средством

анализа является

их представление

в виде

СО

 

*(*) =

(2-25)

I S(f)eP”f‘df.

•—СО

В случае дискретного представления функций пара Фурье-пре- образований может быть записана для массива из N выборок как,

5 (fn) =

At " v ' X (tk) e42nfn ‘k,

n =

0, ± 1, t,

. . • ± ^

 

 

А/

N 2

S ( f n)e-W n lk

 

 

 

 

 

 

X {tk) =

V

k — Q,

1,

N — 1.

(2-26)

 

 

/!= •—N 2

 

 

 

 

 

 

Полагая далее,

что

tk — kAt, fn =

nAf,

 

 

 

 

 

перепишем соотношение (2-26) в виде:

 

 

 

 

 

S(n) = A ^ v 1x{k)e~i2Mnh)N,

n = 0,

1...........N — 1.

 

 

 

k=0

 

 

 

 

 

 

(2-27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х(/г) =

Д/ ‘V

S(n)e/2lt("nw

, ft =

0,

1,

. . .,

N — 1.

 

 

 

n —0

 

 

 

 

 

 

125

Частота члена с номером N12 соответствует частоте свертки Най­ квиста. Для упрощения вычислений представим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами в матричной форме,

 

 

 

[S{n)] = [W"*][x0 (k)],

(2-28)

где [S (п) ] и

U'o (/г) ] — матрицы-столбцы (N х

1), [ \Ѵпк] — квад-

 

 

 

 

 

.2я

 

ратная

матрица порядка N

 

N, W = е

 

Для

удобства

вычислений множитель Аt опущен, а исходный

 

X

 

х0 (/г).

многомерный

вектор х (/г)

будет обозначаться

Рассмотрим простой пример вычислений, связанных с (2-28).

Пусть исходный массив х0 (/г) состоит из /V =

4 выборок. Для

этого случая уравнение

(2-28) имеет вид:

 

 

Г 5 (0 П

' \ѵ° \ѵ° \Ѵ° W'0

*o (0)

 

S (l)

Ц7о \\П ypi w*

* o ( l )

(2-29)

5(2)

W° W2 W4 W6

xo(2)

 

_S(3)_

Ц70 Ң73 Ц7с 1179

xo(3)

 

 

 

 

Решение уравнения (2-29) требует выполнения N 2 операций умно­

жения и сложения, комплексных величин.

 

Перепишем уравнение (2-29) в виде:

 

 

5(0)-

" 1 1 1

1 "

xo(0)

 

5(1)

1 W1 W2 W3

M 1)

 

5(2)

1 W2 WO w 2

x0(2)

 

5(3)

1 \У3 ІЯ w x

A'o (3)

 

Уравнение (2-30) получено из (2-29) путем очевидной замены

Wnk = Wnk mod N (iik mod N —остаток от деления величины nk на N). Второй шаг вычислительной процедуры состоит в представлении

уравнения (2-30) в виде:

 

 

 

 

 

Г 5 ( ° Л

" 1 WO о 0 “

Г1 0 W° 0 " р о ( 0)П

S (2) I

1 r

0 0

0 1

0 w*

*o0 )

5(1)

0

0

1 1Я

1

0

W2 0

xo(2)

S (3)J

0

0

1 W3

| _0

1

0 i r 2

CO о*

Как следует из рассмотрения уравнения (2-31), исходная квад­ ратная матрица [Wnk] порядка N X N представлена в виде произ­

ведения двух матриц того же порядка:

 

[S(n)] = [W['k] [Wn2k][x0(k)].

(2-32)

В процессе факторизации (разложения на множители) в каждой матрице-сомножителе остается лишь два значащих элемента в лю­ бой строке и любом столбце.

126

Вычислим далее вспомогательный

(промежуточный) массив

[*і (k)] = [W2k] [л'о(/г)]:

 

 

 

Г Хі(0)"

“ 1 0

0 '] p o ( 0)~

хх(1)

0 1

0 W°

*o(l)

xi (2)

1 0

W2 0

x0(2)

хі (3)

0 1

0 W 1

A'o (3)

Полученный массив состоит из четырех членов (в общем случае комплексных), а каждый член вычисляется в результате всего двух

операций комплексного умножения и сложения:

 

 

х1(0) = ха(0)-\-\Ѵ«хо(2),

 

 

хі (1) ~ хо( 1) + W0 Л'о (3),

,<2

о4\

.ѵ1(2) = л:0( 0 ) + Г 2х0(2),

1

° }

 

 

хі (3) = д:0 (1) +

W2 х0(3).

 

Окончательный

итог вычислений запишем в виде

 

 

 

[S (л)] =

[\П Л] [*і(й)1

 

(2-35)

 

 

5(0)П

-1

W° o o

-

~xi (0)-

 

 

 

5(2)

1

W2 0 0

 

 

Xi(l)

(2-36)

 

 

S(l)

0

0

1 IK1

 

xi

2

 

 

S(3)

 

 

i

w 3

 

( )

 

 

 

0

0

_xi (3)_

 

Выполнив операцию умножения матрицы

 

на

вектор-столбец

[хг (/г) ]

получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■S (0) = лу (0) + W°x1(1),

 

 

 

 

5 (2) = хг (0) +

W 2Xj (1),

 

 

 

 

S( l ) = x'1(2) +

^

' 1(3),

 

 

 

 

5 (3) = хх(2) +

W3x±(3).

 

 

Как

и прежде, вычисление каждого элемента результирующего

вектора-столбца

требует

выполнения

двух

операций — сложения

и умножения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для ответа на вопрос, как получить общую форму факторизированной матрицы, представим уравнение (2-32) с помощью графа, изображенного на рис. 2-10.

Исходная последовательность выборочных величин х0 (k) пред­ ставлена вертикальным столбцом вершин в левой части графа. Ар­ гумент «/г» запишем в двоичном коде. Изобразим справа от исход­ ного (нулевого) массива вспомогательный (первый) массив х г. Ар­ гумент (или адрес) выборок во вспомогательном массиве также в

двоичном коде. Из соотношения

(2-33) следует, что

* 1 (0) =

(00) =

Л'о (0) + №°Л'0 (2).

127

Смотрите также файлы