Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

На рис. П1П.4, а, б приведены характеристики силы соответ­ ственно знакам ( + ) и (—).

В рассматриваемом случае сила трения не нарушает консер­ вативного характера системы. Очевидно, что в данном случае ис­ ходная система сама является квазиконсервативной; следова­ тельно, каждая амплитуда является стационарной.

2. Случай несимметрии интегральных кривых относительно осей координат. Он может быть реализован при характеристике

Рассматриваемый случай включает в себя диссипативные и автоколебательные системы. Характеристика силы симметрична относительно начала. В этом случае, как легко видеть, V\(а) = = о3(а), v2{a) = ц 4(а). Континуум стационарных амплитуд не­ возможен.

Рассмотрим теперь отдельно системы диссипативные и авто­ колебательные.

Диссипативные системы. Предположим вначале, что г|>(х, х) =

г|)(х, х) имеет тот же знак, что и х, то, как мы уже видели рань­ ше, оно уменьшает восстанавливающую силу во 2 и 4-м квадран­ тах и увеличивает ее в 1 и 3-м. Вследствие этого кривые tii = v3 на плоскости и, а пройдут ниже кривой v0, а кривые иг = £4 — выше.

В связи с этим колеблющаяся точка приходит к положению равновесия с меньшей скоростью и за большее время, чем при

Рис. ПНМ

242

Рис. m ii.5

силе трения, равной нулю. В то же время торможение точки при удалении от положения равновесия оказывается более ин­ тенсивным. Вследствие этого каждое последующее отклонение меньше предыдущего, что ясно показывается диаграммой V\a.

Характер фазовой диаграммы показан на рис. ПШ.З.

Если трение отрицательно [ф(х, х) имеет знак, противополож­

ный знаку х], то кривые щ и v3 на плоскости vta пройдут выше, а кривые v2 и 04— ниже кривой v0.

Колеблющаяся точка приходит к положению равновесия -за меньшее и удаляется за большее время, чем в соответствующей консервативной системе. Каждое последующее отклонение боль­

характеристики сил которых показаны на рис. П1И.6, а, б.

Автоколебательные системы. Для того чтобы в колебатель­ ной системе могли существовать автоколебания, кривые щ = v3 и 02 = ^4 на плоскости и, а должны пересекаться. Количество точек пересечения определяет число и амплитуды предельных

циклов.

На рис. ПШ.7 приведены диаграммы V, а для случая 1-го ус­ тойчивого предельного цикла и неустойчивого равновесия [слу­ чай уравнения Ван дер Поля

при р, = 1].

Рис. mii.6

Рис. П1Н.9 244

Рис. пш .ю

Фазовая диаграмма, построенная Ван дер Полем для р = 1, дана на рис. ПШ.8.

Заменяя это уравнение двумя квазиконсервативными, полу­ чаем

Характеристики сил последних уравнений для a > 1 показа­ ны на рис. ПШ.9, а, б. На рис. ПШ.Ю дан переходный процесс по работе [41].

Фазовые диаграммы для случая р = 1, построенные на рис. ПШ .8 для систем (ПШ.36), приведены на рис. ПШ.11,а, б.

245

3. УТОЧНЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ

Теперь ясно, что применение метода Ван дер Поля к квази-

определении периода колебания.

Однако в связи с тем, что при этом пишется решение, близ­ кое к решению х = a cos (kt + у) соответствующей консерватив­ ной системы, оно будет пригодным лишь при достаточно ма­

лом ц.

Возможности применения метода значительно расширяются, если искать решение, близкое к решению не консервативной сис­ темы x = a cos(^ + у), а в виде х = a cos(pt + у), где х явля­

ется решением дифференциального уравнения х + р2х = 0, а р— некоторая постоянная величина, подлежащая определению (р — определяет частоту того гармонического колебания, которое бу­ дет близко к истинным колебаниям соответственно каждой из квазиконсервативных систем).

Подчеркнем, что этот метод не даст результата, отличного от результатов известных методов малого параметра, если его ис­ пользовать к исходному уравнению. Только применение его к квазиконсервативным системам или, как будет пояснено ниже, осреднение на четверти колебания даст улучшенное решение.

Применим эту идею, чтобы найти период колебания уравне­ ния (ПШ.16). Будем рассматривать каждую из квазиконсерва­

тивных систем (ПП1.23), написанных для уравнения х + f (х, х) =

Полагаем решение в виде

х = acos(pit + у); х = — ар sin(piM- у).

Считая а и у новыми переменными, исключаем х и х анало­ гично тому, как это делалось в методе Ван дер Поля;

где и = p\t + у.

Выбираем теперь р\ таким образом, чтобы среднее значение

за целое колебание равнялось pi при а = ao = const:

dt

2л

du ,

-----du = ри

о dt

346

Интегрируем

р\ = ———Г f[acosu, — Pi@ sin u\cos иdu•

яа J

о

Получаем некоторое уравнение относительно р\. Пусть его ре2Я

Находя значения р2, рз и р*, а затем тг, тз и Т4 для остальных квазиконсервативных систем, получим период колебания исход­ ной системы в виде

Т = + Т2 + Тз + Т4.

Те же выражения для периода получаются, если производить осреднение частоты р другим путем — на каждой из четвертей колебания. В этом случае нет необходимости вводить квазиконсервативные системы в явном виде, хотя смысл проделанного ос­ реднения вытекает из их применения.

Соответствующие выражения будут иметь вид

T "

где

=sin2 и—*f{a cos u, — apjsinu) cos и

Пользуясь последними выражениями, подсчитаем, например, период стационарных колебаний для уравнения Ван дер Поля:

247