ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 0
значения от ближайшей из границ фЬ фг, величина St имеет тен денцию к увеличению и достигает максимума при уж я. Таким об разом, Si= Si(y), что не всегда удобно. Этого неудобства можно избежать, если количественной характеристикой времени дости жения синхронизма считать безусловное математическое ожида ние времени первого достижения
2 л |
Ч>2 |
|
|
|
Sio = < S 1( y ) > = - ± ~ \ s i (у) d y = - ^ - ^ |
S, (у) dy, |
(3.77) |
||
о |
ч>, |
|
|
|
где 1/2я — равномерная плотность |
вероятности |
начальной фс. |
||
Область интегрирования уменьшена на том основании, |
что S i(y )~ |
|||
= 0 при 0 <г/<Сф1 или ф2<г/<2я. |
задачам и |
более |
близко по |
|
Более адекватно практическим |
||||
«физическому» смыслу к гарантированному времени |
достижения |
|||
синхронизма (см. § 2.5) является |
наибольшее значение |
условно |
||
го математического ожидания времени первого достижения об ласти синхронизма или, для краткости, наибольшее время дости жения (НВД), т. е. величина
Sm== maxS1 (у). |
(3.78) |
у |
|
Статистические характеристики времени первого достижения границ неко торой области марковским диффузионным процессом изучаются на основе одного из уравнений Колмогорова — обратного или прямого (т. е. уравнения Фоккера— Планка) [23, 88, 119, 126, 133]. Воспользуемся для нахождения математического
ожидания времени первого достижения удобной с точки зрения учета граничных условий методикой работы [23, § 4.4].
Будем искать решение ур-ния (3.3) с учетом не всех возможных траекторий фс, начинающихся из точки у внутри интервала (<pi, срг), а лишь тех из них, ко торые к моменту s ни разу не вышли из этого интервала. Например, на рис. 3.9 этому условию удовлетворяет только траектория, отмеченная крестиками. Реше ние q = q ( x , s \ y ,0 ) , учитывающее часть траекторий, будет уже не плотностью вероятности, а долей плотности вероятности, обусловленной множеством указан
ных траекторий. Очевидно в области синхронизма решение q равно |
нулю, |
т. е. |
q {х, s | у, 0) = 0 при 0 < х < фг, ф2< х < 2я, |
. |
(3.79) |
откуда следует, что граничные условия не совпадают с граничными условиями для плотности вероятности и имеют вид
Q(фъ s | у, 0) = q( фа, s\ |
у, 0) |
= 0. |
(3.80) |
|
Не выполняется и |
условие нормировки, так как интеграл от |
решения q |
||
по интервалу (cpi, <рг) |
определяет вероятность |
того, |
что ни одного |
достижения |
к моменту s не было.
Начальное условие такое же, как и для |
плотности вероятности фс, т. е. |
|
q(x, 0 | у, 0) = |
6 ( х - у ) . |
(3.81) |
Проинтегрируем обе части ур-ния (3.3), составленного относительно q, по времени s в бесконечных пределах. Учитывая (3.81), а также то, что q(x, s\y,0)-+-0 при s->-оо (через достаточно большое время практически все траек тории хоть раз пересекут границу области синхронизма), в результате интегри рования получим
_ 6 ( х - у) = - -£ • [Л (х) Q (х | у)\ + y |
[В (х) Q (х \ у)], |
(3.82) |
80
где
Q(x | У) = j f ( x , s | y. 0)ds, |
(3.83) |
0
причем
Q(<Pi 1i/) = Q (Фг I */) = °-
Прежде чем решать ур-ние (3.82), покажем, что математическое ожидание времени первого достижения области синхронизма из начального состояния у определяется через Q ( at 11/) :
Ф.
Q (х | y)dx |
(3.84) |
S i ( j f ) = J ' |
|
Действительно, так как |
|
Фа |
|
У) — J Я {х, s \ y , 0)dx |
(3.85) |
Ф1
— вероятность того, что фс не достигла области синхронилма к моменту s (из начального состояния у), то P(s,y) = 1—^ ( s . y ) — вероятность того, что фс до стигла этой области. Таким образом, P (s ,y ) — интегральная функция распреде ления, а ее производная
dP (s, у) |
dV (5 , у) |
P(s. У)= |
ds |
ds |
— плотность вероятности времени первого достижения. Следовательно, матема тическое ожидание времени первого достижения
sd Ф (s, у).
Выполним интегрировалие по частям и учтем, что при s-*-oo ^(s, у) прибли жается к нулю быстрее 1/s (по крайней мере, в тех случаях, когда моменты
распределения времени первого достижения существуют), так что s'Vfs,
при s-t-оо. Подставляя в полученный интеграл (3.85), имеем после изменения порядка интегрирования
00 |
ф J |
00 |
Si (у) = j W (s, у) ds = |
J |
[ q (X , s 1y, 0) dsdx, |
о |
ф , |
6 |
откуда с учетом (3.83) следует справедливость утверждения (3.84).
Для нахождения Q(x\y) проинтегрируем обе части (3.82) по х, после чего
имеем дифференциальное уравнение первого порядка |
|
||||||
-7 - [В (х) Q (х | у)\ — 2А (х) Q (х | у) = Сх— 2и(х — у), |
|
||||||
где Ci — постоянная, а и(г) |
— единичный скачок. Общее решение этого уравнения |
||||||
|
ех<*> |
X |
|
|
|
||
Q (•*■I У) |
J |
[сх — 2Ц (г — г/)] е~х {z) dz |
|
||||
вТх) |
С2 + |
|
|||||
|
|
Фг |
|
|
|
||
где Сг — постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
A M |
|
|
|
|
* (Ф) = |
2 |
I |
В (г) dz. |
(3.86) |
ф>
81
Примерный вид функции А,(<р) |
показан на |
||
рис. 3.10г. |
Из граничного |
условия |
Q('<pi|i/) = 0 |
видно, что С2= 0, Воспользовавшись |
вторым гра |
||
ничным условием, получаем, что |
|
||
Ф . |
|
|
|
I* |
[Сх — 2u(z — у)] |
е-Х <2)с*г= 0, |
|
Ф1 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
е - ^ 2>dz |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Сг= С М |
= 2 |
£ ----------------- (3.87) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
е“ Х(2>dz |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, постоянная Сi представляет собой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
удвоенное отношение площадей под двумя |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
участками кривой ехр —h(z). Из (3.87) видно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
также, что нижний предел «нтегрироваиия в (3.86) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
можно выбрать произвольно. Это справедливо и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
по отношению к другим полученным «иже соот |
|||||||||
Рис. 3.10. Примерный вид ношениям. |
|
|
ожидание |
времени |
первого |
||||||||||
функций, определяющих ха |
Математическое |
||||||||||||||
рактеристики |
времени |
пер достижения, получаемое подстановкой |
в |
(3.84) |
|||||||||||
вого достижения |
синхро |
выражения |
для |
Q (x|y) |
с |
учетом |
значений по |
||||||||
|
низма |
|
|
|
стоянных С1 и Сг, равно |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ъ* |
% |
еМ *)- Л (г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.88) |
|
|
Si |
(у) = |
J |
J |
------------------ [Ci (у) — 2и (z — у)\ dzdx. |
|
|
||||||||
|
|
|
<Pi |
Ф1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно границы |
(pt |
и ф2 выбираются |
так, |
чтобы |
ф1= 2я—фг. |
Если, |
кроме |
||||||||
того, |
Л (ф )— нечетная, |
а |
В (ф )— четная |
функции, |
то |
Я,(ф)— четная |
функция. |
||||||||
При |
этих условиях можно показать, что Si(y) |
достигает |
наибольшего |
значения |
|||||||||||
при |
у —я (наиболее |
удаленной от области синхронизма |
точке). |
Если |
|
</= я и |
|||||||||
выполнены указанные условия четности, то из (3.87) |
видно, |
что |
C i= l. |
Тогда |
|||||||||||
разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сг — 2и (г — у) — — sign (г — я)
— нечетная относительно г = я функция г, а внутренний интеграл в (3.88) — четная функция х (относительно х = я ). Отсюда получаем
2 |
хс |
ем*)-Мг> |
|
Sm = Si (я) = 2 j |
J |
------— ------dzdx. |
(3.89) |
4>i Ф|
Двойной интеграл (3.89), определяющий наибольшее значение математического ожидания времени первого достижения при симметричных коэффициентах j4 (ф) и В(ф), можно использовать для качественной оценки и в тех случаях, когда условия симметрии не выполнены. При этом верхний предел интегрирования во внешнем интеграле следует заменить на значение второго корня функции Л(ф) (т. е. корня, в окрестности которого А (<р) возрастает).
Интеграл (3.89) обычно не удается выразить через известные функции и для его вычисления приходится прибегать к численно му интегрированию. Для приближенной оценки Sm ф-лу (3.89) можно упростить.
82
Как видно из рис. |
З.Юг разность к(х) |
—к(г) отрицательна |
при x> z, поэтому на |
величину интеграла |
наиболее существенное |
влияние оказывает часть области интегрирования, внутри которой величины х я z близки друг другу. В этой части области функцию
Ai(z) можно разложить по |
степеням (г — х) в |
окрестности |
точки |
||
х. Ограничиваясь линейным приближением, имеем |
|
||||
к (х) — к (z) = 2 Г AtiBL d ф ^ |
2 А ^ |
(х — z), |
|
||
J |
В (Ф) V |
В (х) V |
|
||
что позволяет, вычислив 1Внут|рсиний интеграл, найти |
|
||||
_ J _ [ e x p M W i £ n M _ |
1 dx. |
(3.90) |
|||
- J А( х) [ |
к |
В(х) |
|
|
|
Эта формула значительно проще ф-лы |
(3.89). |
|
|
||
Если помехи в канале связи сравнительно слабые, то показа тель экспоненты в (3.90) отрицателен и достаточно велик по мо дулю. Так, для УС с дискретным управлением он имеет порядок А72я. При этом экспонентой в (3.90) можно пренебречь по сравне
нию с единицей |
и считать, что подынтегральная функция равна |
||
—1 /А(х). |
Такое представление, |
однако, несправедливо в окрестно |
|
сти точки |
х = л , |
где А (х) даО. |
В указанной окрестности большую |
точность можно получить путем разложения экспоненты в ряд. Ес ли можно ограничиться членом ряда, содержащим первую степень
показателя экспоненты, и, кроме того, |
пренебречь изменениями |
В (х) з рассматриваемой окрестности, |
то подынтегральная функ |
ция примет вид 2(х—cpi)/В (л). Обозначим границу этой окрест ности через фз. Тогда наибольшее математическое ожидание
|
Ф, |
dx |
(Л — <рг)а — (Фз — ф!)3 |
|
|
Sт |
С |
(3.91) |
|||
J |
— А (х) |
В (л ) |
|||
|
|
<Pi
Границу фз можно определить по-разному, однако во всех слу чаях получается примерно одинаковый результат. Проще всего потребовать, чтобы при х=ф 3 аргумент экспоненты в (3.90) был порядка — 1. Тогда со сравнительно небольшой погрешностью мож но, с одной стороны, пренебречь экспонентой по сравнению с еди ницей и, с другой стороны, воспользоваться линейной аппроксима цией экспоненты. Пусть Я (х )« В (я ), Л (х )« Л '(я )(х — я) в окре
стности (ф з, я) и, кроме того, примем для простоты, |
что ф з ^ > ф 1 « 0 . |
||
Так как ф3—ф1 <Ся, то, 'потребовав |
|
|
|
2 А'(л) |
(ф з — Я) |
— 1, |
|
В (л) |
|
||
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
В (л) |
|
/Ч О0\ |