Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Примерный вид функции а0(ф) показан на рис. 4.116.

Из полученных соотношений можно определить основные ха­ рактеристики фс. Дифференцируя (4.59а), имеем

Для нахождения времени достижения синхронизма восполь­ зуемся, как и при рассмотрении УС с двухпозиционным управле-

109

нием, ф-лой i(8.91). В соответствии с (4.52) и (4.61) втор'ое слагае­ мое в (3.91)

Первое слагаемое вычислим, аппроксимируя функцию Оо(ф) ломаной (см. рис. 4.116):

Логарифмическая функция мало чувствительна к изменению своего аргумента в несколько раз, если этот аргумент достаточно велик. Пренебрежем поэтому находящимися под знаком логариф­ ма величинами пропорциональными р<0,4 по сравнению с едини­ цей. Суммируя полученное при этом выражение с полученным выше для второго слагаемого (3.91), находим время достижения синхронизма

Найдем теперь вероятность срыва синхронизма Рс1, для чего снова воспользуемся (3.100). Вычислим сначала интеграл Х(л),

/(ф) >2рка2о(ф), причем это условие выполняется даже при сла­ бых помехах. С увеличением помех значения функции а0(ф) уменьшаются по абсолютной величине, хотя и незначительно. Зна­ чения же функции /(ф) заметно возрастают с увеличением помех.

110

Поэтому при сильных помехах можно считать, что выполняется соотношение

/ (ср) 2 рк а\ (ф).

Поскольку срыв синхронизма практически невозможен при слабых помехах, интерес представляет только значение Pci при сильных помехах, когда

Вычисление этого интеграла не представляет труда, если за­ метить, что, как это видно из сопоставления (4.44) и (4.45), функ­ ция ao(q>) пропорциональна производной функции / (ф ), т. е. /'(ф ) = = — 2 а 0(ф)ЛУл, откуда

» - - ^ 1 п >Тя_+4р 2К ]/2лр2

Учитывая, что ф-ла (3.100) оценивает лишь порядок вероятно­ сти срыва синхронизма, сомножителю при экспоненте в этой фор­ муле можно на основании (4.57), (4.61) и (4.62) придать следую­ щий вид:

Величина 2—р 2я заменена здесь на близкую (во всяком слу­

чае, по порядку) величину V 2я с целью некоторого упрощения выражения для вероятности срыва синхронизма. После подста­ новки полученных соотношений в (3.100) находим

В заключение заметим, что все характеристики УС зависят только от отношения N/K, т. е. инвариантны к увеличению N и К в одинаковое число раз. В действительности это справедливо лишь настолько, насколько допустима аппроксимация ступенча­ той функции k(x) (рис. 4.9г) линейной функцией. Условия, при ко­ торых аппроксимация допустима, зависят от того, какая характе­ ристика УС рассчитывается с помощью соответствующей форму­ лы. Например, для того чтобы воспользоваться формулами для математического ожидания и дисперсии, аппроксимация должна

111

быть удовлетворительной в области почти всех возможных поло­ жений моментов пересечений, для чего в этой области должно уло­ житься несколько «ступенек» функции k(x), т. е. необходимо, что­

хождения фо и Оф можно воспользоваться соотношениями, полу­ ченными для УС с двухили трехпозиционным управлениями. Формула (4.65) для S m применима практически всегда.

В общем случае для расчета УС с линейным управлением мож­ но получить и более строгие соотношения, вывод которых не пред­ ставляет трудностей, по крайней мере, принципиальных.

Сравнение числовых характеристик УС. Сопоставляя (4.63) и (4.64) с (4.506) и (4.516), отметим, что в УС с двухпозиционным ■управлением и математическое ожидание и дисперсия фс линей­ но зависят от р, а в УС с линейным управлением математическое ожидание не зависит от р, а дисперсия пропорциональна р2. По­ этому непосредственное сравнение числовых характеристик за­ труднительно.

Сравним математические ожидания фс, выбрав коэффициенты деления N так, чтобы дисперсии фс (были одинаковыми. Прирав­ няв (4.64) и (4.516), видим, что равенство дисперсий достигается при

N = V 2 / n N „ K p ,

где индекс «д» означает, что величина N относится к УС с двух­ позиционным управлением. Подставим определенный этим усло­ вием коэффициент деления .Уд в (4.516) и составим отношение ма­ тематических ожиданий фод/фо УС с дискретным и линейным уп­ равлениями. Проделав выкладки, находим, что это отношение рав­ но я/2. Таким образом, при одинаковых дисперсиях фс, смещение математического ожидания фс в УС с двухпозиционным управле­ нием почти на 60% больше, чем в УС с линейным управлением.

Покажем, что УС с двухпозиционным управлением проигрыва­ ет и по времени достижения синхронизма. Выбрав, как и прежде, Уд из условия равенства дисперсий, подставим полученное выра­ жение в ф-лу (4.55). Тогда время достижения синхронизма в УС с двухпозиционным управлением приводится к следующей удобной для сравнения форме:

Формулу (4.62) представим в виде

Сравнивая выражения для 5 тд и Sm, видим, что каждое сла­ гаемое в квадратных 'скобках первого выражения больше 'соот­ ветствующего слагаемого второго выражения (напомним, что рас­ сматриваемые приближенные формулы справедливы при р<0,5).

112