Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

в которой изменяется вид функциональной зависимости Оо(ф)- В этой точке

для численного расчета времени достижения синхронизма. Если

чина времени достижения синхронизма уменьшается более чем

указанным слагаемым. Из сопоставления кривых можно заклю­ чить, что влияние слагаемого Si незначительно и, как показывают численные расчеты, при /V>50 и небольших защитных интервалах (Л<0,5) им можно пренебречь. Тогда выражение для наибольше­ го времени достижения синхронизма принимает вид

где величина a0(Xi) определена ф-лой (5.22).

138

Рис. 5.8. Зависимость времени достижения синхро­ низма от h

Вероятность срыва синхронизма. Вероят­ ность срыва синхронизма РС1 можно найти

методами численного интегрирования. Достаточно простую оцен­

Так как функция Яо(ф) близка к «треугольной» с вершиной в точке ф= 2 яА (1 + А )-1, то и подынтегральная функция а0(ф)Ь~Чф) близка к «треугольной». Поэтому величину интеграла можно оце­ пить площадью треугольника

Выражение для оценки порядка величины Pci принимает тог­ да вид

вероятности срыва составляет 10- ®, а при h = 5 он составляет К)-1', т. е. Ра практически равна нулю.

139

5.3. Расчет УС по модулю вектора сигнала

Коэффициенты уравнения Фоккера—Планка. Рассмотрим характеристики УС

пульса принимается при Vo>Vi, где величины V в соответствии с (5.7) и (5.5) выражаются через модули проекций сигнала на опорное колебание Л-го канала. В свою очередь, проекции можно найти по ф-лам (5.3), подставив вместо x^t) входной сигнал x(t). Остановимся, прежде всего, на вероятностном описании проекций.

где Х0, У0 отражают полезный сигнал на текущей посылке; AXt и ДУ\ — помехи, причем индексами «1» и «2» снабжены соответственно собственная помеха k-ro канала я 'переходная помеха, появившиеся из-за 'неправильного положения ин­ тервала интегрирования, индексом «3» — помеха, появившаяся из-за аддитивного нормального шума. Свойства помех АХо, ЛУг, АХ3, ДУ3 изучены в приложении 2. Свойства других слагаемых (5.32) определяются k-м канальным сигналом, проек­ ции которого, как следует из (5.3), равны

где Х=Д</7\>, At — часть соседней посылки, попавшая в интервал интегрирования; ф и ф + ф — фазы &-го канального сигнала на текущей и соседней посылках;

ф — разность фаз.

Первые слагаемые в этих выражениях естественно считать проекциями по­ лезного сигнала, вторые — проекциями собственной помехи. Относительно полез­ ного сигнала для последующего необходимо только учесть, что модуль его неиз­ менен от посылки к 'посылке, так как он равен а 7"cr(i1—Х)/й и не зависит от фа­ зы сигнала. Проекции собственной помехи имеют нулевое среднее, не коррелироваиы, дисперсия их при а& = а равна a2P ffX2/8. Одноименные проекции, измерен­ ные с временным сдвигом, коррелированы, причем смешанный момент второго порядка их распределения равен нулю, если соседними по отношению к двум интервалам являются разные посылки, и равен

где Xj = min{Xi, 1—X*}, если соседней является одна и та же посылка.

Таким образом, собственная помеха по своим свойствам очень похожа на компоненты переходной помехи (см. приложение 2) и ее влияние эквивалентно

Можно показать, что распределение суммарной помехи при этом оказывается еще ближе к нормальному, чем распределение без учета собственной помехи.

представляют собой модули двумерных векторов с нормальными независимыми

140

проекциями и, следовательно, распределены по закону Райса. Знак импульса управления противоположен знаку v n.

Трудности расчета статистических характеристик величины v связаны с тем, что, во-первых, все модули С в (5.35) зависимы между собой и их совместное распределение имеет чрезвычайно сложный вид и, во-вторых, с тем, что два соседних значения величины v зависимы, так как два модуля С [например, С„, и Сп2, если речь идет о л-й и (л+1)-й посылках] являются общими для этих

величин. Следовательно, для полного описания величин v с точки зрения расчета коэффициентов уравнения Фоккера—Планка необходимо знать шестимерное рас­ пределение модулей С, одномерные распределения которых являются райсовски­ ми. Сделаем два упрощения, без которых невозможно обойти эти трудности.

Во-первых, заменим распределения величин С нормальными с нулевыми сред­

по закону Райса с одинаковыми параметрами, поэтому распределение разности симметрично и имеет нулевое среднее значение. Более того, это распределение близко к нормальному, так как даже в наихудшем случае рэлеевского распреде­ ления величин С коэффициент эксцесса распределения разности составляет всего

0,15 »).

Во-вторых, пренебрежем корреляционными связями между модулями в тех случаях, когда эти связи слабы. К слабо коррелированным (или строго некорре­ лированным) относятся, как можно проверить по формулам приложения 2, вели­ чины С, измеренные на неперекрывающихся интервалах времени.

Итак, при расчетах статистических характеристик функции о распределение величин С можно считать нормальным и центрированным, причем

D (Сщ) = < C2nl> = Dh

т. е. дисперсия не зависит от номера посылки (точнее говоря, от номера изме­ рения, так как интервалы измерения величин C„t и С„2 только при синхронизме попадают в одну посылку). Корреляционный момент величин, измеренных на разных посылках, равен нулю, т. е.

К (Cni, C„_i j) = < C ni Сп_ , у> = о,

авеличины, измеренные на одной посылке, коррелированы, т. е.

К(Сщ, Сщ) — <^.Ст Спг> = К ■

Для исследования коэффициентов а(<р) и Ь(<р) полезно учесть, что распреде­ ление пары нормальных зависимых случайных величин (Cit Сг) совпадает с рас­ пределением двух сумм:

Si = 11 Vo + *i Vt, Ss = tt Vo -+- s2 Vj,

где Vo, vi, V2— независимые нормальные величины с единичной дисперсией, а

коэффициенты /j. Si являются решениями системы уравнений:

f*+s*=D,, (/ = 1.2), t i t t = K .

Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то существует беско­ нечное множество решений. В частности, если Dt >K, Dz>K, К > 0, то суммы можно принять равными:

где ро, pi. Р2— взаимно независимые нормальные величины с дисперсиями:

‘) В действительности, максимальное значение коэффициента эксцесса мо­ жет быть несколько большим, так как величины Сп< и Cn-i, i зависимы. Однако эта зависимость, как показано в приложении 2, является слабой.

141