Файл: Гинзбург, В. В. Теория синхронизации демодуляторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.10.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вследствие

совпадения распределения пары величин (С i,

Сг)

с

распределе­

нием пары сумм (Si, S2), заданных ф-ламй (5.36)

и (5.37),

при

вероятностных

расчетах можно одну пару заменять другой и считать, что

 

 

 

 

Сit =

И7о +

\ 4 i U =

п >

п — 1 >

* = 1. 2),

 

 

 

откуда следует, что входящие в (5.35) разности равны

 

 

 

Сщ — C „ _ lt 1 = х 0 -)- x lt

Сп 2

Cn _

2 = х о +

 

 

(5 .3 8 )

Г Д е X m ~ J A n m

Ц п —1, т

—

1,

2 ) .

 

 

 

 

 

о2т , а плот­

Величины

х т нормальны

и

независимы, их дисперсии равны 2

ности вероятности

где wИ(х) — нормальная плотность вероятности с единичной дисперсией.

Для УС с двузначным управлением коэффициент ао(<р) по ф-ле

(3.45а) вы­

ражается через вероятность добавления импульса и равен:

 

а0 (Ф) =

29i (Ф) -

1 = 1 — 2 Р (v > 0).

(5.40)

При фиксированном хо=*о разности в (5.38) условно независимы и услов­

ные плотности вероятности их абсолютных величин равны (*{>0)

 

Wi (х, | х0) = W[ (х£ — х0) +

w( (х( + х„),

(5.41)

откуда

00

 

 

 

 

 

 

 

P ( v > 0) =

\ p ( v

> О I х0 =

Х„) w0 {ха) dxg=

 

№i (Xi | Х0) W2 (xJ | дг0) w0 (x0) dx2 dxy dx„,

— оо О О

причем внутренним интегралам здесь соответствуют внутренние дифференциалы. Подставив в это выражение ф-лы (5.39), (5.41), имеем

1

Р (V > 0)

2 V 2 о0 Ст! а2

1— оо О О

Хи■IV 2 о2

 

( ха ± х0

(5.42)

 

где знак суммы и двойной знак «±» означают, что подынтегральное выражение следует просуммировать по всем четырем возможным сочетаниям знаков.

Для вычисления (5.42) перейдем к сферической системе координат (18], опре­ деляемой заменой переменных

х£ = У 2 а! р cos a sin 0,

= ]^2”а2р sin а sin 0, х„ = ]^2 а0 Р cos 0,

при которой якобиан преобразования равен 2^200010202 8100, а интервалы инте­

грирования составляют (0< р < оо ), (О<0<хс), (0< а < а о ), где

a 0 =

arctgv, v = 0i / 02,

 

(5.43)

и, выполнив интегрирование по р {18, 41], найдем

 

 

я а0

cos а

sin а

 

/

 

1 — а0 sin 2 0 ±

------- ±

+

о

\

° 1

°2

о

 

 

142

- 3/2

cos2 0 sin 0 d a d 0 =

О?

n/2 a.

=

— j* J 2 [ 1 + R cos (a rfc a 0) sin 2 0 + R2 cos2 0] 3/,г sin 0 d a d 0 =

оо

л/2 2a„

=

2 [1 ± R cos a sin 2 0 + Я2 cos2 0]

3^2 sin 0 d a d 0.

о

о

 

Предпоследнее соотношение получается при

 

 

R12 = <Tq/ a, -|- <jg/ 02

(5.44)

с учетом симметрии суммы в подынтегральном выражении относительно коорди­ наты 0 = л/2, а последнее — заменой переменной ao+a или ао—а на а в сла­ гаемых этого выражения и попарным суммированием интегралов, отличающихся

только пределами интегрирования.

 

 

 

 

 

 

выражении

в ряды

Тейлора

Разложим оба слагаемые в подынтегральном

по степеням

 

 

 

R sin 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosа ,

 

 

 

 

 

 

р — р ( а , 0) = ------ —-----—

 

 

 

 

 

 

и

и v

 

1 +

R2 cos2 0

 

 

 

 

 

 

что возможно, так как |р |< 1 ,

и просуммируем

ряды почленно. Члены нечетных

степеней, различающиеся только знаком,

дадут

при суммировании нуль,

а члены

четных — удвоятся, поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

л/2 2а„

sin 0 d a d 0

 

оо

(4 n +

1)!! .

 

 

С

Г

СЛ

 

P ( W > 0 ) = T

J

j

1 + ^ c o s 2 0 2

22n (2n )

~

pin

 

J ^

^

 

 

 

 

0

0

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

Поменяем порядок суммирования и интегрирования и, воспользовавшись

подстановкой

 

 

 

R2 cos2 0

\0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишем

 

* - ( 1

+ R2 cos2 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2а0 а>

 

 

 

 

R/ VT+K*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4п + 1 )!! cos2n а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (V > 0) = T.fEо л=о

(2л)! Я2п+1

 

 

j*

 

 

x2n [R2 — ( l - j - R 2) x2]n dx d a.

Интегралы под знаком суммы здесь удобно вычислять путем последователь­

ного интегрирования по частям,

в результате которого имеем

 

 

 

 

 

 

1

2а0 оо

R2n cos2n а

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

P(v~> 0 ) — ------------------ l

 

V

. -------------------- d a .

 

 

 

n V T T R *

J

h

 

(1 + R*)n

 

 

 

 

 

 

 

 

'

0

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма ряда под знаком 'Интеграла

 

'равна

 

[18, 41]

[1—/?2tos2 а /(1 +/?2)]-1.

Вычислив полученный табличный интеграл (45], найдем

 

 

 

 

 

Р (v > 0) =

- у + у

sign ^a0 — y j

 

+ - у

arc tg [(l

+

R2) tg 2 a 0].

(5.45)

Подставляя в это выражение ф-лу (5.43)

и имея в виду известные свойства

арктангенса (18],

можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P ( v >

1

1

sign (v — 1) +

1

 

 

2 v (1 -f- R2)

(5.46)

0) = — +

—

—

 

arc tg --------------—

 

«

 

 

 

 

 

П

 

 

I

 

 

V

 

143

откуда с учетом

(5.40) находим искомый коэффициент

 

До (Ф) = — arc tg

1 ~~ V — =

i — ~jr arc tg [1 + R*) t g 2 a 0],

(5.47)

 

jx

2 v (1 -f- Rr)

я

 

где v=v(cp), R = R ( ф).

 

корреляция, определяемая в соответствии

Как видим,

при фиксированном v

с (5.44) величиной R, уменьшает абсолютную величину коэффициента До(<р), т. е. ухудшает качество синхронизации. Если же рассматривать зависимость от К при фиксированных Dt и £>2, заданных ф-лами (5.37), то возможно как увеличение,

так и уменьшение |ао(ф )|.

При нахождении коэффициента &(<р) необходимо учитывать, что, как упо­ миналось выше, значения величины v на соседних посылках зависимы, так как в соответствии с (5.35) одна и та же пара модулей Cni и Сп» «участвует» в двух соседних во времени значениях величины v. Ввиду того, что модули C„i и Сп2 тоже зависимы, найти точное аналитическое выражение для Ь(<р) не удается. Найдем приближенное выражение из следующих соображений.

Из расчета вероятности P { v > 0) видно, что корреляция между величинами Сп1 и С„2 приводит к увеличению вероятности того знака величины v, который

при R = 0 менее вероятен. Количественно увеличение выражается в том, что,

как

следует из (5.45), величина tg 2 a 0 возрастает в (1+1Я2)

раз. Символически

это

можно записать так:

 

 

 

tg 2 а 0 -*• (1 +

R*) tg 2а0.

(5.48)

С другой стороны, интуитивно ясно,

что «характер»

зависимости между зна­

ками соседних величин v должен в основном определяться тем, что два соседних знака являются функциями одних и тех же модулей и в меньшей степени — корреляцией между этими модулями. Поэтому в качестве приближенного выра­ жения для 6(ф) можно взять выражение, полученное при R = 0, и уточнить это выражение применительно к случаю R¥= 0. Очевидно, приближенное выражение должно, во-первых, превращаться в точное при i/?=0 и, во-вторых, из него должно следовать точное выражение для коэффициента а0(ф). Этим условиям можно

удовлетворить, если в вероятностях, определяющих Ь(ф) и ао(ф)

и

рассматри­

ваемых как

функции

от tg 2ao,

увеличить в соответствии с

(5.48)

аргумент

в (1+Я 2) раз.

сказанного

приближенные

выражения

для

коэффициен­

Найдем

с учетом

та 6 (ф).

(3.8а), (3.456) следует, что если в УС с двузначным управлением за­

Из ф-л

висимость между величинами k распространяется только на две посылки, то

Ь (ф) = 1 — а\ (ф) + 2 ^ 1 * ! — ао (Ф)] [А* — а0 (ф)] q (Аь Аа),

 

где A>i,ft2= ± l — числа импульсов,

добавленных соответственно на п-й и (я+1)-й

посылках; q(kt, k 2) — совместная

вероятность

и А2, а суммирование следует

выполнить по всем четырем возможным значениям пары величин Ai, й2. Эле­

ментарными преобразованиями из этого выражения получаем

 

МФ) = 4 [<?(U ) +

<7 ( -

1,

— 1)1 — 1 — За*(ф ).

(5.49)

Найдем сумму вероятностей

^(1,1)

и

q(—1 ,-1 ), т. е. вероятность

одинако­

вых знаков величин v на соседних посылках.

Если величины Сщ и Сп2 независимы, то все шесть модулей Cji(j=n —1, п, п+1; 1=1,2), определяющие по ф-ле (5.35) две соседние команды, тоже неза­

висимы

и, следовательно, величины Vni,

Уп+i, i не зависят

от величин Vni,

K n + i , г.

Совместное распределение величин

K n j

и К„+1, <

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

* t

<*/. yt) =

J Wi (*| I г,) W, (У11г,) wH

dzlt

(5.50)

 

 

 

 

— ОО

 

 

 

 

где

Wi(Xi\zt) и Wi(yi\zi) — условные плотности вероятностей

абсолютных вели­

чин

разностей

|C „-i, <—C „i|

и |C n+i, <—Cni|

при фиксированном

Cn<=Zj, а

 

 

 

 

144

 

 

 

 

нормальная плотность вероятности описывает распределение величины Сп.- Учи­

тывая,

что

условные

плотности

вероятности

абсолютных величин

равны (при

0 < X

i <

o o )

 

 

 

 

 

 

 

Wi (xt | zt) :

 

Xj + Z,-

 

 

 

 

 

 

 

 

вычисление интеграла

(5.50)

дает

 

х\ + у \± Xj уi

 

 

 

W i ( X i ,

у , )

 

exp

(5.51)

 

 

‘

о „2

 

 

 

 

л о? У 3

3 ai

 

где суммируются слагаемые, отличающиеся знаками при Xii/i.

Совместная вероятность двух положительных знаков величин v определяет­

ся, очевидно, интегралом

 

9

(хи у г) W2 (хг . Уa) dx2 dy2 dXi dyx,

для вычисления которого перейдем к гиперсферической системе координат, опре­ деляемой заменой переменных:

•*1= <*i Р cos «1 cos 0,

х%=

а2 р sin а х cos 0,

У1 — d i p cos а 2 sin 0,

у2 =

а2 р sin а 2 sin 0.

Такой переход можно рассматривать как двухэтапный. На первом этапе выпол­

няется

переход от

декартовых

координат (xi, х2) к полярным (pi, а*) и

от

(у 1, у2)

к (рг, аг),

а на втором

этапе — от новых декартовых координат (pi,

pj)

к полярным (р, 0). Область интегрирования в гиперсферической системе коорди­ нат составляет:

0 < р < о о ,

О < 0 < я / 2 ,

 

0 <

«!, а а < а 0>

 

 

а якобиан перехода

равен 0,5 p3a2i<j2j sin 20,

так

что

подынтегральная

функция

представляет собой сумму

 

 

 

 

 

 

 

а 2)])'

 

6л2 sin 2 0 UЕ -г {”■( 3

1 ±

-у - sin 2 0 cos (а! ±

 

Проинтегрировав с помощью

таблиц

сначала по

р, а затем

по 0,

получим

 

 

а» а©

 

 

 

 

 

 

 

 

9(1, 1) -?ПЕо о f (а!

± o a) d a xd а а,

 

 

(5.52)

где

1

/ .

,

cos а

 

,

cos ос

\

 

, ,

 

 

/ (Я) =

4 — cos1 а V

+ / 4

-

cos2 а аГС *g У 4 -

с<52 а

)

 

Вычислим этот интеграл приближенно, разложив функцию f(a)

в ряд Фурье.

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( a ) = f ( — ос), / ( я + < * ) = /(я — а ), / (-J* + а ) = / ( - | - — а ),

то f(a) раскладывается (53]

в ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

(а) =

са +

^

сп cos 2я а ,

 

 

 

 

подставив который в (5.52),

получим

п= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения коэффициентов с„ разложим /(а ) в ряд Тейлора по сте­ пеням 2= cos 2а

/(а) =

1 + z

—bo biZ+ й2г2 + . . .

7 — г arc tg

Коэффициенты этого ряда убывают очень быстро и уже четвертый дает

поправку к величине /7(1,1), меньшую 0,1 %•

Вычислив первые коэффициенты и

воспользовавшись известными соотношениями, связывающими коэффициенты сте­ пенных и гармонических тригонометрических полиномов {53], получим:

 

с0 «

0,331

«

 

1/3,

Ci=

9,44 -К Г 2 ,

сг = 6 ,4 - 10~3 .

 

 

Поправка при

учете

с2

 

составляет примерно

0,1%,

поэтому можно

принять

с2=0. Тогда в силу (5.53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4®о

0,285

sin2 2

а0

_1_

 

 

 

 

 

tg2 2а0

 

 

<0 . 1) = ^

я2

 

я 2 arc

tg2 tg 2а0 +

32я2

1 + tg2 2а0

 

Аналогичное выражение для q(—4,—1)

можно получить, заменив в (5.53)

ао на я/2—ао. Увеличив

в

соответствии с

(5.48) . в обоих выражениях tg 2а»

в

(1+1/?2) раз, найдем с

учетом

(5.47) вероятность

одинаковых знаков

величин

v

на соседних посылках

 

 

 

 

 

_9______ у2 (1

+К 2)2

 

 

9(1. 1) + <7(- 1, - 1

 

 

 

 

 

 

 

) = Y

[ а 2 (Ф) + 1] +

 

 

(1 — v2)2 +

4v2(l +

Я2)2 ’

откуда находим искомый коэффициент

4я2

У2 (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_9_

+

£ 2)2

 

(5.54)

 

6 (<р) = 1 — а2 (ф) +

 

 

 

4v2 (l + Я2)2

 

 

 

 

 

 

я2 (1 — v2)2 +

 

Таким образом, за счет зависимости между командами коэффициент Ь(ф) возрастает на величину последнего слагаемого в (5.54), оценка влияния кото­ рого дана ниже.

Моменты распределения фс в установившемся режиме. Для ко­ личественного исследования УС необходимо знать зависимости v(<p) и R (<р). Как видно из (5.37), (5.43) и (5.44), величины v и R

можно выразить через дисперсию и корреляционный момент модуля Сп:

. D i- K

1 + / ? = 1 +

К

+

К

(5.55)

d2- k

Di — K

d 2 - к

 

Моменты Di и К распределения райсовских величин далее за­ меним на соответствующие моменты переходной помехи. Вообще говоря, такая замена справедлива только, если модуль полезно­ го сигнала с проекциями .Y0, Уо в (5.32) больше среднеквадратич­ ного отклонения проекций помехи. Однако в связи с тем, что в соответствии с (5.55) статистические характеристики фс зависят только от отношения моментов, погрешность замены невелика при любом модуле полезного сигнала.

Считая величину сдвига между интервалами измерения рав­ ной защитному интервалу &Т0=АТ0, на основании сказанного име­

ем с учетом (5.34)

 

 

 

(5.56a)

Dt = & -

% { (1 — Kt) + — ■+ 2/ta

t =

1 , 2 ;

2

 

 

 

 

Q T o

 

l z ± ]

(5.566)

К =

^ min ( 1 — ^ max) Н --------

 

 

2/i2

J ’

 

146

Смотрите также файлы