ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 146
Скачиваний: 0
Ограничиваясь в (7.63) полиномами четвертой степени и под ставляя (7.46) в (7.65), после преобразований получаем; систему неравенств:
y 4 t lo) ^ \ y ( t io) \ < [ y 'e(tio)? > |
0,5 |
iffto )» 4 I У(^/о) I <-[ Уг (^/о)] |
(7.66) |
> |
которую удобно использовать для практической проверки близо сти заданной функции правдоподобия к гауссовой функции.
Алгоритмы оптимальных УС. П|ре(дположи1в, что система нера
венств 1(7.66) 1вьшол1нена, найдем оптимальное УС три квадратич ной функции потерь *>, когда оптимальная оценка параметра опре деляется на основании (7.6) и (7.61), где
—Г
g = [ • ■ |
• • ;tn)r\FoiCx\ti)dti |
откуда (получаем выражение для оптимальной оценки
п
f |
. • |
• \ t nWn(t ..............6.) |“V o / (*!</)#/ |
|
J |
|
J_______________ 1=l__________ |
(7-67) |
|
|
n |
|
j |
. . |
. j Wn (tx. . . . , t n) r \ Foi ( x\ t i ) dt f |
|
При гауссовой апостериорной плотности вероятности оценку (7.67) удается представить в виде следующего рекуррентногоуравнения J10, 13]:
v* = |
vn0 + ^ Cnl [b, + Bj ( v* — v,o)], |
(7.68)- |
|
|
/=i |
|
|
где Vi = ti — iT, Cni — решения системы уравнений |
|
||
П |
|
|
(7.69) |
Cni 4~ У CnlB , R , ^ R ni, 1=1 , |
• • -,п, |
||
/=i |
|
|
|
величины bj и Bj равны |
|
|
|
|
bi = d t ln/7°/(*lv‘- i) ’ |
|
|
|
Bi - |
|
(7.70) |
|
dt? |
|
|
v10, ... ,vno — вектор |
математического |
ожидания; Rji |
— элемент |
корреляционной матрицы плотности вероятности Wn(tu ..., /*). Выражение (7.68) описывает оптимальный фильтр-измеритель
Изменяющегося параметра. При реализации такого фильтра нуж
*) При гауссовой фапв оценки при любой симметричной функции потер!., совпадают.
8 - 6 5 |
185 |
но знать корреляционную матрицу и вектор математических ожи даний априорной плотности вероятности. Корреляционная матрица параметров v i , v n зависит в основном от дестабилизирующих факторов, влияющих на 'частоту тактовых (генераторов, и от свойств канала связи и мало зависит от точности начальной настройки ге нераторов. Математические ожидания vio,..., vno, напротив, опре-
.деляются точностью настройки генераторов. Если Ra постоянны для всех генераторов данной серии и заданных каналов связи, то
•об априорном математическом ожидании (Обычно нельзя получить каких-либо сведений. В такой ситуации остается в качестве апри орного математического ожидания i-й границы посылок принять увеличенную иа Т оценку (t—1)-й границы посылок, т. е. /,о= s=/*<_i+7\ v,o=v*i_i. Это эквивалентно приравниванию нулю про изводных логарифма плотности вероятности границ посылок
- ^ - l n r „ ( v; |
• |
■ •, v*_,) = |
0, i = l , |
• • |
.,п, |
(7.71) |
с учетом чего ур-ние (7.68) |
эдршим'ает вид .(ем. {72]): |
|
||||
|
< = » ; - ,+ £ |
с„А. |
|
|
(7.72) |
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
В УС, реализующем |
алгоритм (7.72) |(|рис. |
7.2), |
входной |
|||
преобразователь (ВП) |
вычисляет |
величины |
bj |
и В; |
по ф-лам |
|
Рис. 7.2. Замкнутое оптимальное УС
<7.70). Последовательность bj подается на адаптивный фильтр <Ф), управляемый последовательностью Вj и имеющий весовую
функцию Сnj. На выходе фильтра формируется последовательность
П
величин Av* — ^ Cnjbj, управляющая подстройкой автогенератора
/= 1
тактовых импульсов (АГ).
Представленное УС является замкнутым. В теории гауссовой нелинейной фильтрации известны алгоритмы и оптимальных ра зомкнутых измерителей. Например, в [10] получено уравнение, ана
логичное (7.68) и имеющее вид |
|
|
v* = v„o + |
Yi СпЮБ 1 (v/— v/o), |
(7.73) |
где |
/=i |
|
|
|
|
Cnt0 + ^ |
Cnj0BjRji = Rn[, |
|
/=i |
|
|
186
v/
т. e. в отличие от коэффициентов Bi, определяемых второй произ водной логарифма фп в окрестности оценки на предыдущем шаге,, коэффициенты Б} определяются в окрестности максимума лога рифма фп на данном шаге. Поэтому уравнение
v’ = v*_, + £ ( v — v}_i) Cnj0Bh |
(7.75) |
/=i |
|
получаемое, как и в предыдущем случае, приравниванием Vjo= описывает разомкнутую автоматически управляемую си стему. В УС по алгоритму (7.75) (рис. 7.3), в отличие от преды-
Рис. 7.3. Разомкнутое оптимальное УС
дущего УС (рис. 7.2), ВП вычисляет фп foj(x|vj) и значение аргу мента, ‘соответствующего ее максимуму, а также .вторую 'произ водную логарифма фп Б). На вход фильтра подается взвешенная-
величина (vj — v * j-i) Bi.
Вероятностиые характеристики оценок (7.68) и (7.73) изуча лись в 110 ], где показано, что эти оценки нормальны и являются, несмещенными, а их дисперсия
~ |
= < |
С П,0> . |
(7.76у |
Вообще говоря, дисперсии оценок |
(7.72) |
и (7.75) отличаются |
|
от (7.76). Однако ввиду того, |
что алгоритмы |
(7.72) и (7.75) полу |
|
чены соответственно из (7.68) и (7.73) заменой математического ожидания его оценкой на предыдущем шаге, то при вычислении дисперсии оценки можно воспользоваться теоремой Роббинса [109]. Теорема гласит, что замена априорного распределения апо стериорным, полученным на предыдущем шаге, не ухудшает сле дующую оценку, если число оценок достаточно велико. Из теоремы следует, что при сильной корреляции границ посылок, т. е. при
|
|Я/‘-*А 1-1|«|Я /‘|. |
(7-77) |
дисперсии оценок |
(7.72) и (7.75) равны величине |
< С „„> . К ана |
логичному выводу |
можно прийти, анализируя условия, при koto |
|
s’ |
187 |
|
рых справедливо (7.71). Действительно, если априорная диспер сия параметра vn существенно больше апостериорной, что спра ведливо, если выполняется условие (7.77), то справедливо прибли женное равенство (7.71).
В заключение параграфа приведем для сравнения алгоритмы УС, оптимальных при условии, что флуктуации положения границ -посылок можно трактовать как марковский гауссовский случай ный (процесс. Для такого ироцесса в (4, 120] получена (Следующая -система уравнений следящего оптимального измерителя:-
v; = v;_, + D„ lb, |
v*_i [1 — exp (— а Г)] |
||
D__i exp (— 2a T) + D [ 1 — exp (— 2a 7’)] |
|||
|
|||
Dn_ xexp (— 2a T) + |
D [1 — exp (— 2a T)] |
||
1 + {D„_, exp (— 2a T) + |
D [1 — exp (— 2a Г)]} Bn ' |
||
где v*n и Dn — апостериорные математическое ожидание и дис
персия параметра после обработки п посылок; |
Ьп и В п определя |
||||||||
ются из (7.70); а и D — |
параметры |
|
корреляционной |
функции |
|||||
процесса v(t) |
R(x) — Z)exp(— a j т |). |
|
|
(7.78) |
|||||
|
|
|
|
||||||
Обычно |
в задачах |
синхронизации aT -cl, |
Dn<^D и |
система |
|||||
уравнений приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v; = |
v*„_, + Dn (bn - 0,5D~' v;_,), |
|
(7.79) |
|||||
|
|
Dn |
|
2a TD |
|
|
|
|
(7.80) |
|
|
1 + |
2a TDBn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив (7.80) в (7.79), получаем алгоритм |
оптимального |
||||||||
измерения |
|
|
|
v„-i |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a TD |
|
|
|
||
|
vn~l 1 |
\ " n |
2D |
/ |
1 + 2а ТDBn ' |
|
^7 '81^ |
||
Схема УС, реализующего алгоритм |
(7.81), |
показана на рис. |
|||||||
7.4, где |
— усилитель с коэффициентом передачи |
1/2D, |
а сумма- |
||||||
J ’uc. 7.4. Замкнутое оптимальное УС, полученное с по мощью марковской теории нелинейной фильтрации
тор 2 |, усилитель У2 с коэффициентом усиления 2aTD и усилитель Уз с управляемым коэффициентом усиления Вп образуют усили тель с обратной связью с коэффициентом усиления D„, определя
емым ф-лой (7.80).
188
Сравнивая рис. 7.4 и 7.2, видим, что схемы реализационно эк вивалентны. Если корреляционная функция имеет вид (7.78), то характеристики указанных УС совпадают.
Дисперсия оценки параметра, получаемая на п-й посылке с по мощью УС рис. 7.4, определяется выражением (7.80).
7.5. Субоптимальные устройства синхронизации
Характеристики субоптимальных УС. Наиболее сложным для реализации узлом оптимальных УС, синтезированных в § 7.4, является накопитель с пере менными параметрами. Он должен с каждым шагом менять вид весовой функции, причем закон изменения задается специальным вычислительным устройством, решающим с каждым шагом систему уравнений, например, (7.69). Ясно, что за мена такого накопителя фильтром с постоянными параметрами существенно упростила бы реализацию УС. Параметры фильтра постоянны, если последова тельность Bj заменена 'постоянной величиной В, т. е.
п |
|
С'щ + ^ 2 |
(7-82) |
/=> |
|
Такая замена, кроме того, упрощает ВП, в котором делается излишним вы числитель величин Bj.
Исследуем условия, при которых ухудшение точности оценок из-за упро щения накопителя невелико, и, следовательно, упрощенное УС субоптимально, для случая, когда истинные положения границ посылок представляют собой нормаль
ную последовательность с экспоненциальной корреляционной функцией |
|
|||||||||
|
|
Rji = |
Dexp (— у | *' — Л ). |
|
|
(7.83) |
||||
при которой решение |
ур-ния (7.82) |
приводится |
для |
установившегося |
режима |
|||||
(п-*-°о) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с ', =--Гехр [— |
р (л — |
0], |
Л > |
I, |
|
(7 84) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
у ] Л |
|-2 BDy-1 |
, Г = |
у В-1 |
(V 1 + |
2BD у-1 — 1 ). |
|
(7.85) |
||
Запишем Bj |
и C„i в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bj — В + |
Д Bj, |
Сщ — Сп( + Д Cnj |
|
(7.86) |
||||
и подставим (7.86) в (7.69). Вычитая |
(7.82) из |
полученного при |
подстановке |
|||||||
уравнения, получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
А Сщ + |
У] с'п/ Д BjRu + |
в Y j |
Д CniRii + |
Y |
Д с "/ Д RiRii = |
0 |
(7 • 87> |
|||
|
/= 1 |
|
/= 1 |
|
|
/=1 |
|
|
||
относительно ACni. Предположим сначала, что только одна из величин ДBj от лична от нуля, т. е.
Xk, (i = n — k),
Д В/ =
0, Ц ф п — k).
Тогда с учетом (7.83), (7.84) одна из сумм в (7.87) равна
ехр [— (Р + y ) k — у (л — 01,
0 (л , k, 0 = 5 ] С'щ- Д В/Я/i — xkD Г
ехр [— ( И - у )* + у (л — /)],
/=1
(7.88)
(п — k > 0 ,
(л — k < 0 ,
(7.89)
189