Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Таблица 1

Р езульт ат ы испыт аний сверл диам ет ром 6 м м с норм альной и ут олщ енной сердцевиной

Доверительный интервал. Критерий Стьюдента

Выборочные числовые характеристики являются надежными количественными оценками генеральных характеристик лишь при большом объеме выборки. При ограниченных объемах испытаний необходимо указать степень точности и надежности оценок гене­ ральных характеристик. Представление о точности и надежности

вторять выборки и каждый раз находить доверительные интервалы,

с которой доверительный интервал при многократном повторении опыта накрывает истинное значение параметра, называется дове­ рительной вероятностью. При определении доверительных интер­

14

валов уровни доверительной вероятности принимают равными 0,9; 0,95 и 0,99.

Относительное отклонение выборочного среднего от генераль­

Следовательно, ошибку Ах определения х можно записать так:

Доверительный интервал для среднего квадратического откло­ нения выражается неравенством

где zlt z2 — коэффициенты, зависящие от уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы f — п — 1, значения ко­

торых табулированы в работе [11].

Границы доверительных интервалов для дисперсии могут быть найдены путем возведения в квадрат критических значений, соответствующих границам доверительных интервалов для сред­ него квадратического отклонения.

Р а с с м о т р и м п р и м е р . На стойкость испытаны две партии сверл диаметром 6 мм: с увеличенной толщиной сердцевины (k — 2 мм) и со стандарт­

Требуется определить доверительные интервалы для средних значений стой­

15

Следовательно, 22,68 М {х} 30,78 мин. Для сверл со стандартной величиной сердцевины

Следовательно, 11,12 Л1{.v'} <[ 18,90 мин.

Коэффициент вариации

Точность метода испытаний, операций технологического про­ цесса и т. п. характеризуется коэффициентом вариации. Коэф­ фициент вариации случайной величины х представляет собой

относительное среднеквадратическое отклонение, т. е. отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожи­ данию

Соответствующая эмпирическая характеристика подсчиты­

Таким образом, сверла с утолщенной сердцевиной не только имеют большую среднюю стойкость, но и меньшую величину коэффициента вариации, т. е. большую стабильность величин стойкости, что весьма важно и свидетельствует также о более высоком качестве этих сверл.

Количество необходимых испытаний

Анализируя точность оценки среднего значения, можно ре­ шить, является ли она достаточной или требуется продолжение испытаний. Чаще всего задача заключается в нахождении такого количества испытаний, чтобы вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней на величину, большую Ах, была очень мала (меньше заданного числа Р). В этом случае можно

воспользоваться формулой, вытекающей из равенства (13)

Применение формулы (17) затруднено, поскольку нужно зара­ нее знать величину s по данному признаку, которое можно опре-

16

делить лишь на основе результатов испытаний. Поэтому преобра­

долю предельной ошибки от средней арифметической величины. Тогда

(18)

По этой формуле находят необходимое число наблюдений безотносительно к размерности того или иного признака. Вели­ чину k можно определить, исходя из практических соображений.

В частности, для стойкостных испытаний целесообразно при­ нимать среднее значение k — 0,2. Дальнейшее уменьшение k

практически не требуется и вызывает значительное увеличение объема испытаний. Значения коэффициента вариации стойкости известны из многочисленных исследований автора и могут быть приняты равными до 0,15 для инструмента хорошего и 0,30 для удовлетворительного качества и свыше 0,35 для инструмента низкого качества. Следует учитывать, что эти значения коэффи­ циента вариации являются средними; их величина зависит не только от качества инструмента, но и его вида (сложно-режущий инструмент — протяжки, червячные фрезы и т. п. имеют меньшее значение вариации), а также от условий эксплуатации (жесткость

ваемости заготовок и т. д.) и точности определения момента за­ тупления.

Поскольку формула (17) справедлива для нормального закона распределения, а закон распределения стойкости может отли­ чаться от нормального, проведено экспериментальное исследова­ ние зависимости ошибки в оценке среднего значения стойкости от количества испытаний. Для этого обработаны результаты мно­ голетних производственных испытаний на стойкость различных

хв

В результате обработки этих данных получены зависимости

Параметры уравнения (19) для различных видов инструмента приведены в табл. 2 и на рис. 3.

Представляет интерес определение точки максимальной кри­ визны гиперболы. Эта точка показывает то количество испыта­ ний, при котором дальнейшее их увеличение мало сказывается на точности результатов. Известно, что радиус кривизны ги­ перболы

Я = -^ '[1 + 0 /')2]3/2.

Подставив значения у' — k' и у" = k" из формулы (18),

получим

(20)

Приравняем к нулю производную функции (20), получим

уравнение

(п4-н ft?) (n4 — ft?) = 0,

18