Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ

И ФОРМ

[ГЛ. I

т. е. *)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

\ip

...

а,ll'P+r

 

 

aw>

 

• av P

...

а, ,•

 

 

 

 

г2)р+г

 

М ? (?)

-

ai 1

■

?р

 

ipip+r

(3.3)

 

% h

1р'2

 

 

 

 

 

°1р+гН aip+ria

.

й;

J

АГ

 

 

 

‘р+Г-'р

 

 

Многочлен М*р (?)

= М*р (?ц ?2, •••> ?р)

от переменных

?и ?2i

?р обращается в нуль при замене любой из этих

переменных, например ? д,

тем

элементом o-iq]q матрицы

А, место которого занимает эта переменная. В самом деле, при ?9 = o,i j в определителе Мр'1(?) порядка р + г

оказывается г + 1 строк (столбцов) первоначальной мат­ рицы А, которые линейно зависимы, так как у этой матри­ цы по условию ранг равен г.

Итак, многочлен

(?) делится без остатка на произ­

ведение

 

 

(? 1 a idi) (?2

а 1г]г) • • ■(? Р

a ip ip )'

Ясно, что частным от этого деления будет старший коэф­ фициент многочлена, т. е. коэффициент при произведении ?i ?2 ...?Р. Но из (3.3) видно, что этим коэффициентом яв­ ляется минор А г, т. е.

М 'г)(?) = Иг П ( ? ш- а ^ и). ш=1

Поскольку в данном случае стр. (=срг) = 0, crv (= п ;) = 0, то для рассматриваемого частного случая формула (3.2) установлена.

*) В схеме (3.3) мы допускаем ради сокращения записей неко­ торую вольность, замепяя определенный «участок» или «блок»

матрицы определителя М^ (?) символом А г, имея здесь в виду, ко­

нечно, не число Лг, а соответствующую минору А г матрицу. Такая же символика употребляется неоднократно и в дальнейшем (в этом от­ ношении мы следуем за [4]) во всех случаях, когда она не может по­ родить недоразумений. Фактически мы выше уже применяли ее в схемах п. 2.2,

§ 3]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

21

Проведенное рассуждение применимо и в общем слу­ чае, с тем лишь различием, что теперь коэффициент при

произведении £i£2---£p в определителе Мр} (£) отли­ чается от А г множителем + 1 , зависящим от расположе­

ния элементов t,v £2, ..., £р в миноре М рг) (£), т. е. элемен­ тов «p-2v2, ...,Оц.рЧ в миноре М*р (см. (3.1)). Но, как известно из теории определителей, этим множителем яв­ ляется (— 1)°1'1+0''.

Лемма 3.1 доказана.

Вид формулы (3.2) позволяет вывести из леммы 3.1

такое

 

 

С л е д с т в и е .

Величина определителя

м Р (£) не

изменится, если любые элементы матрицы А,

за исключе­

нием а ^ (со = 1, 2,

..., р) и элементов, вошедших в состав

минора А,, варьировать так, чтобы ранг матрицы А все время оставался равным г.

3.2. Применять лемму 3.1 нам придется главным об­ разом в двух частных случаях, на которых остановимся несколько подробнее. Первый из них это случай, когда (здесь удобно заменить индекс р индексом к)

 

А г

 

II

. . .

аг-к+1,п

 

V п—к+1

* * * апп

 

А

 

М г)(£) =

 

Cl

 

1

.

. . ъс,/с . . .

апп

т. е. когда

 

 

р а = п — к -|- ш,

v M= п 4- 1 — &> (со = 1,2, ..., к

22 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ [ГЛ. 1

Заметим, что теперь (см. лемму 3.1) дополнительные индек­

сы ах< а 2 <

... < с с г м е н ь ш е

всех '|Хь>(со = 1,

2, . . . , /с),

индексы же

Pi <

Р2 <•••<; Рг

м е н ь ш е

в с е х

(со= 1, ..., к),

а

наборы

<

... < р

h и

v 1>

. . . > v k

м о н о т о н н ы .

Поэтому в наборе индексов

 

 

P'11 1*21

•••ip'fej OCli ®2i

•••! <*Г

 

 

число инверсий равно

 

 

 

 

 

 

 

 

CTjj. =

г +

г +

г

=

Лег,

■

 

 

 

 

' ----------

ч,---------- '

 

 

 

 

а в наборе

 

 

 

к раз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•••) ^ hi Pi)

Рг) ••■)

Рг

 

 

число инверсий равно

 

 

 

 

 

 

 

<з„ = {к — 1 + г) +

к(к — 1)

+ (к - 2 + г) + .. . + (1 + г) + г = кг +

 

2

Таким образом, в данном случае формула (3.2) принимает вид

 

 

А Г

 

 

 

 

 

 

 

 

М г,(0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. ••Cfc

•

•

• апп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

(3.4)

 

 

=

( ~

l ) k(fe- 1)/2 А тП (£» ~

n-co+l).

 

 

 

 

 

 

0 = 1

 

 

 

 

В

частности,

при

ап_д+ш,п_ш+1 == а ( со = 1,

2,

...,

к)

и

Ci =

Ег = •••

=

£п = £

(именно так

будет

в

гл.

II)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m V (£) =

( -

\)m ~m Ar(£ -

af.

 

(3.5)

Сделаем еще следующее важное для применения фор­ мул (3.4) и (3.5) замечание. В следствии из леммы 3.1 указывалось на возможность варьирования в определен-

§ 3]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОИРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

23

ных

пределах некоторых элементов определителя ДО ^

(£)

без изменения его величины. В данном случае это

ут­

верждение можно усилить, заметив, например, что:

 

1°. Определитель (£) не изменится, если все его элементы, стоящие в правом нижнем углу ниже диагонали £i> •••>Cs на схеме (3.4), заменить произвольными числами.

В самом деле, расчленим последний столбец определи­ теля ДО (Р (£) ( м. (3.4)) на два:

 

*

 

0

*

 

0

an -k + i, п + ап-к+1, 71

 

*

 

о

1 *

1

где звездочками обозначены все прочие элементы расчле­ няемого столбца (т. е. матрицы А), и разобьем соответст­ венно этому определитель ДО (£) на два слагаемых:

 

 

*

* .

. .

*

 

 

*

*

. . ,

*

*

. . . *

*

*

. . .

*

*

. . . *

*

*

 

1С

* . . . *

Ck *

• • • »

0

0

о

о

п

А

*

* ...

*

*

*

* . . . *

*

 

* . . . *-

*

* ...

*

an_k+1>n

* . . . *

*

* ...

£2

*

* ... *

L.

* ...

*

*

Поскольку во втором из них теперь оказалось г + 1 строк, извлеченных из соответствующих строк матрицы А ранга г, то этот определитель равен нулю, причем тождественно относительно элементов всех остальных строк и, в частно­

24

ОЁЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

tP.il. 1

сти, при произвольных значениях элементов, стоящих в правом нижнем углу под диагональю a n_ fe+lin, ^ •••> £itИтак,

А

*

*

...

*

 

 

 

 

Г

*

*

...

*

 

* . . . *

*

* ...

 

 

*

*

. . . * k-i

* ... *

 

k-1

 

 

 

 

и, повторяя тот же прием еще (к — 1) раз,

убеждаемся в

справедливости предложения 1°.

 

 

 

 

З а м е ч а н и е . Попутно мы получаем новое незави­

симое доказательство формулы (3.4). Несложную провер­ ку точного совпадения знаков перед произведением предо­ ставляем читателю в качестве упражнения (ср. [28]).

3.3. Другой случай применения леммы 3.1 встречается при рассмотрении минора М ® матрицы А , имеющего вид

ЛГ<,Г)

-

 

1

 

к

Г

ап

а1к

в1.Т

. . . а1п

 

 

 

i

а11

а1к

а/,х

. . . а1п

 

 

А

 

 

г. (3.6)

*«.1

а°,к

 

аст, Т

* •■

п

 

 

 

 

 

к

*П1

апк

 

ап, X

* ’ *

апп

(где а — п — /с + 1,

%= п —I + 1)

и соответствующего

минора М $ (У

матрицы И®.

Здесь (см. лемму 3.1)

р = к + I > 0, к > О, I > О,

Pi = п

к -}- 1,

= ^

^ “1~ 3, ■

И1ь =

Смотрите также файлы