Файл: Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Во втором случае подводимое к газу тепло идет не только на увеличение внутренней энергии газа, а й н а совершение работы рас­ ширения, т. е.

&QP== ср = du -j- &L.

Cz - C/j +йѴ

Т2 = +1

Рг - р, ~ CC/Jöt

lfz -Ъ'~ const

Тг =Гг і Рг

а

5

Рис. 10

 

Очевидно, что &Qp > &QV и ср > сѵ-

Разность между ср и

■сѵ эквивалентна работе расширения 1 кг газа при его нагревании

на один градус в условиях постоянного давления. Но эта работа, как известно, численно равна газовой постоянной R. Следователь­ но,

cp — cv = R .

(69)

Это выражение, называемое уравнением Майера, можно пред­ ставить в ином виде:

пгср — пгСу — mR — 8314.

(70)

Следовательно, разность между молекулярной теплоемкостью при постоянном давлении гпср и молекулярной теплоемкостью при постоянном объеме пгсѵ для всех газов одинакова и равна

8314 Дж/(кмоль-К).

По своему физическому смыслу число 8 314 — это тепло, экви­ валентное работе расширения одного киломоля газа при нагревании его на один градус при любом постоянном давлении.

Соотношение между пгсѵ л тс дает возможность по одной из­ вестной теплоемкости определить другую. Например, тср — тсу + + 8 314 Дж/(кмоль • К)-

57

Кроме приведенных выражений, широко используется также от­ ношение теплоемкостей при p=const и Ѵ = const, обозначаемое через к и называемое показателем адиабаты,

с„

тс„

тсѵ -\-ѣ?>\4

8314

(71)

£ = —

тс ѵ

------------ = 1 +

------- •

Су

тсѵ

тсѵ

 

Так как с повышением температуры газа тсѵ увеличивается,

то величина k при этом уменьшается. Для одноатомных газов £=1,667. Для двух- и трехатомных газов при температурах, близ­ ких к комнатным, средние значения k принимаются соответствен­ но равными 1,4 и 1,33.

У р а в н е н и я д л я о п р е д е л е н и я

и з м е н е н и я

в н у т р е н н е й э н е р г и и и э н т а л ь п и и г а з а

Заменим

в формулах истинной теплоемкости тс

 

d

fQ _

 

 

ат \ М 1

и с =

величину

dQ

согласно уравнению первого

d T

\ О

 

 

 

 

закона термодинамики на dQ — dU + p d V = d l — Vdp.

Получим

rnc = dU + p d V

 

d l - V d p

 

 

 

MdT

 

MdT

 

 

 

dU -f-pdV

dl ~ Vdp

 

 

 

G d f

 

GdT

Применим полученные выражения теплоемкостей к частным случаям процессов изменения состояния газа.

Для процесса при V ■ conslt

Поскольку в этом случае dV — 0, то

тс,

1

/ dU

 

dU

М

дТ

О

дТ

 

Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры, то вместо частных производных можно записать полные производные:

тс,,

V \

И Су

 

U

dT

(72)

d T

М ')

 

~0

Следовательно, истинная молекулярная (массовая) теплоем­ кость при V — const — это первая производная по температуре от внутренней энергии одного киломоля (одного килограмма) газа.

58

Таким образом, dU — Mmcv dT — GcydT. Интегрирование этого

уравнения в пределах от начального 1 состояния газа до конечно­ го 2 состояния дает:

 

 

 

7"<з

 

7.J

7з

 

Л U — t/, — U , =

I Мтсѵ di' Мтсѵ | ( Т2— /',) — |

Gcv dT —

 

 

 

т,

it

п

і\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gcv I (Г2 -

7'j),

 

(73)

 

 

 

 

 

т,

 

 

 

где

/ясѵ j

— средняя

молекулярная теплоемкость;

 

 

 

г,

 

 

 

 

 

 

 

сѵ

Т,

 

 

 

 

 

при V —

 

I

— средняя

массовая

теплоемкость

газа

 

 

г,

= const

в интервале температур

от Тх до 77.

 

 

 

Из последнего выражения следует:

 

 

1)

при Т1= !О К,

т. е. при Ui =i6

г

г

 

 

 

 

72

 

 

 

 

Uz =

MmCy I

Г,

или U — МпіСу | Т ~ О с ѵ | У.

(74)

 

 

 

О

 

 

О

II

 

Таким образом, внутренняя энергия газа численно равна коли­ честву тепла, затрачиваемого на его нагревание при V = const от абсолютного нуля или любого другого начала отсчета до данной температуры;

2) средняя молекулярная теплоемкость газа при V = const в интервале температур от Тх до Т2

 

 

 

 

 

Г;

Т,

 

і

U * -

Ux

 

тс ѵ I '77 — тсу I 7\

 

 

 

k J . __________

(75)

тс,.

 

 

т,

 

 

 

 

77

- тх

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

^1

Су

Т%

Су Т,

 

(75')

 

 

 

т , - т г

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л я процесса при

р ^

const

 

В этом случае

dp — 0 и,

следовательно,

 

 

 

д Г \

.

в

_ ± _ { Ы \

(76)

 

М \ дТ )р ’ Ср

 

G \ д Т ) р

 

59

Поскольку для

идеального газа энтальпия, как и внутренняя

энергия, зависит только от температуры, то

 

тер =

А

1_

(76')

 

 

IІТ м

 

Следовательно,

истинная молекулярная

(массовая) теплоем­

кость газа при р = const равна первой производной по температуре от энтальпии одного киломоля (одного килограмма) газа. Очевидно, что для идеального газа тср{ср) и тсѵ (сѵ) зависят только от тем­

пературы. В соответствии с этим dl — Мтсп dT = GcpdT. Изменение энтальпии газа в интервале температур от 7) до Т2:

 

г„

 

т2

 

г,

 

Л/ = / а — /, =

f

MmcpdT — Mm Cp | (7'2 -

Г3) =

f

G cp d T -

 

7,

T*

7,

 

7,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gcp I

(7'2 — 7j).

 

 

(77)

 

 

r,

 

 

 

 

Из последнего выражения

следует:

 

 

 

 

 

 

7

у

 

 

1) при 7\ — 0

и

Т2. ~ Т /

— /И/wcJ Г =

Gcp | Г,

т.

е., как

 

 

 

о

о

 

 

отмечалось выше, энтальпия газа численно равна количеству теп­

ла, необходимому для нагревания

газа при р =

const

от абсолют­

ного нуля до данной его температуры;

 

газа

при

р = const; в

2) средняя молекулярная теплоемкость

интервале температур от Т\ до Т2

 

 

 

 

 

 

7-

 

 

 

I т,

 

 

 

тср\

7 2 Л

__

Л из

 

 

 

М { 1 \ - Т г)

т2- т г

 

 

 

7,

 

 

 

 

 

т,

7,

 

 

 

 

 

 

тСр\ Т2 — mCp j

7',

 

 

 

 

 

 

о

о

 

 

 

(7В)

Средняя массовая теплоемкость при р =

const

 

 

 

 

 

 

Cp I

 

А

 

7,.

/

- Л

 

 

Т„ -

ср I 7 ,

 

 

 

о

 

о

(78')

 

G( Т>- 7\)

Г2 — Г,

 

 

Г2 - 7 ,1

7,

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е ч и с л е н н ы х з н а ч е н и й

 

 

т е п л о е м к о с т е й

 

 

 

Теплоемкости

газов

определялись

многими

исследователями.

В настоящее время наиболее точными являются величины теплоем-

60

костей, полученные советскими учеными М. П. Вукаловичем, В. А. Кириллиным, В. Н. Тимофеевым и Н. Б. Варгафтиком.

Экспериментальные данные по теплоемкостям газов сведены в таблицы, которые приводятся в учебниках по термодинамике и теп­ лотехнических справочниках. Такие сведения (по спектроскопиче­ ским данным) приведены и в приложениях к «Термодинамическим основам теории тепловых машин». Средние молекулярные тепло­ емкости вычислены от О К и приведены в зависимости от абсолют­ ной температуры. Для удобства пользования зависимости тсу и

т

пгСу I от температуры представлены в виде графиков. При

о

Т < 200—250 К для газовой фазы теплоемкости можно считать по­ стоянными.

В соответствии с этим истинные молекулярные теплоемкости

тсѵ следует определять по приложениям 3 и 4. Истинная моле­ кулярная теплоемкость при постоянном давлении mcp= m c v Jr

+ 8,314 кДжІ(кмоль • К).

Средняя молекулярная теплоемкость при V = const в интервале температур от 74 до Т2 определяется по формуле (75)

т% г,

г2 шСу j T'g тс у j 74

Г: ft

где m c y j и mcv | находят по приложениям 5 и 6.

и0

При пользовании этой формулой под Т2 удобнее всегда пони­ мать большую температуру независимо от того, начальной или ко­

нечной в

условиях

рассматриваемого

процесса она является.

 

Т-2

Га

 

Очевидно,

что тср |

— тсѵ | -4-8,314

кДж\(кмолъ-Щ.

 

г,

Г,

 

При очень узком интервале изменения температуры газа более точные численные значения теплоемкостей достигаются при поль­ зовании табличными данными. Следует также иметь в виду, что в этом случае приблизительно можно считать, что средняя теплоем­ кость газа равна соответствующей истинной его теплоемкости при среднеарифметической для этого интервала температуре.

§5. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ

Втеплотехнических расчетах часто приходится иметь дело с га­ зовыми смесями, в связи с чем возникает необходимость в определе­ нии их теплоемкостей.

61

Поскольку состав смеси может быть задан как массовыми, так и объемными частями, то рассмотрим методику определения тепло­ емкости смеси для каждого из случаев задания ее состава.

При задании смеси объемными частями

При нагревании газовой смеси повышение температуры всех ее компонентов одинаково. Следовательно, элементарное количество тепла, необходимое для нагревания смеси, состоящей из п компо­ нентов,

âQ ---

тсс„ d'i =

М хtncx dT

Л12 тс, dT +

■■■4- Мп тсп dT.

Здесь Мсм и тссы— соответственно количество киломолей смеси

и ее молекулярнаятеплоемкость,

а М ,

и т с ,

— количество

кило­

молей и молекулярная теплоемкость г-того компонента.

 

Откуда молекулярная теплоемкость смеси

 

 

тссы =

Мг

М,

тс*

.

,

М а

тс„ = г, гас. -р

---- — тсг

— —

- ! - ...

-!-------■-

 

М

М

с м

"

'

 

М

 

 

 

i r i cvt

 

 

 

і —п

і Г , с м

 

 

 

-f- г2 тс*

 

 

rnm,cn

у л<гітсі.

(79)

 

 

 

 

 

 

»-1

 

 

 

Таким образом, для определения теплоемкости газовой смеси необходимо сначала определить теплоемкости входящих в ее состав газов.

I

і —п

Т.

 

7ш^ г і піс1

(79')

Очевидно, что mccu j —

г,

І=1

гг

 

При задании смеси массовыми частями

Элементарное количество тепла, необходимое для нагревания смеси,

dQ == Gсм сси dT = G, cxdT G, c2dT -j- ...

0„ сп dT.

Здесь GCM и с см — соответственно масса смеси и ее массовая теплоемкость, a G, и с , — масса и массовая теплоемкость і-того компонента.

Откуда истинная массовая теплоемкость смеси

Ох

с* ~f-.

G,

— с,

g l с-1 -j- ■• ■+

Огм

+

Or

Gr

 

 

 

 

I n

 

 

 

8nCn

Ѵ л

 

(80)

 

Z d & * ci-

 

 

 

i = l

 

 

62

Смотрите также файлы