Файл: Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

турах питания Ф0 и скважины Фе

постоянны

(Ф0 =

const; Фс =

= const).

работой

не­

Задача о распределении потенциала, вызванного

совершенной скважины, аналитически сводится к решению

диф­

ференциального уравнения в

цилиндрических

координатах г

и г :

эгФ

_1_ Э Ф

1

Э2Ф _ q

эг2

г

эг

х2

эг2*

*а =

“

>

Ф =

— • Р

I Х(1)

kz

р

w

при граничных

условиях:

Э-^-~ — 0

при

z =

0,

2 = Л0 (гс <

г <

R0)

IX(2>

dZ

г = гс (0 <

г <

в).

Ф =

Фс

при

Ф =

Ф0

при

г = R 0(0 <

2

<

hQ)

При

замене

переменного

* 2 = г'

уравнение

IX

(1) обращает­

ся в уравнение Лапласа. Задача IX (1) и IX (2) относится

к обла­

сти теории потенциала и впервые решалась Маделунгом,

который

получил

общее

решение,

удовлетворяющее

первому

условию

IX (2),

обычным методом

разделения

переменных

Бернулли —

Фурье.

Для линии

стоков

это решение оказалось

непригодным,

чил расходящийся ряд за счет члена nltir при г-*~со,

который был

им отброшен как функция, независящая от координат.

Таким обра­

зом,

было получено распределение потенциала вблизи скважины

(для

г < 2 h0)

где

Ф1 = Т4-я/ьх ( р Д .Л ),

1Х(3)

1Х(4)

4

В

I Х(5)

где

Е = — Г 2

In —'■

? (Л)

•In—0

1Х(6)

2 A L

гс

«о

Решение уравнения Лапласа

IX (1) для граничных

условий

IX (2) может быть выполнено более точно следующим путем [16].

Будем искать решение в виде суммы двух функций

Ф = (г, 2 ) = Фа(г, 2 ) + Фа(г, г),

1Х(7)

где Фх (г, г) — решение IX (3) для малых р; Ф2 (г, г) — функция,

которую надо найти в интервале 0

< r < R 0 (чтобы она удовлет-

Ф(о . р', 1, h) = Ф0

- 4

f (р,р',Е,А);

IX (8 )

П0

у

z

i b

1Х(9)

а П0 ■

;/ -

л г

’

Ао

й =

тh0-

где F — некоторая функция,

выражаемая

в рядах

и интегралах

через функции

Бесселя

[16].

имеем Ф ==

Фс. Тогда

При г — гс

(второе

граничное условие)

из IX (8 ) следует формула

IX (5),

где

Е

=

■F(o, h)

IX (1 0 )

(источника) в однородно-анизотропном круговом

пласте. Приток

к несовершенной

скважине

Как известно, в области, содержащей источники или стоки,

потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона [16]

Д<р = ф (*, у,

г):

IХ (1 1 )

Здесь А— оператор Лапласа;

<р— потенциал;

<1> (х, у,

г)—

плотность стоков как функция координат.

г =

Рассмотрим приток к точечному стоку с координатами

родно-анизотропном

пласте

(рис. 43).

В этом случае уравнение IX(1) будет иметь вид:

<Э3ф ,

1

д ср

1 д-ю

Ь (г) „ /

.

2

kr

+ -L £» +

й

-

*’ =

f

,Х(12>

дг2

г

дг

где

q —-мощность

точечного

стока;

б (х) — функция Дирака.

Будем считать

кровлю ( z=

0) и подошву (z =

ft0)

непроницае­

мыми, т. е.

—■— 0

при

z = 0

и

z — h.Q

I Х(13)

На

внешнем контуре

(г =

R0)

примем

<р =

сро

при

г — R0

1Х(14)

Математическое

решение задачи

IX (12)—IX

(14)

выполнено

ср (р, 6, Л)

= ср0 ------q^-

-

2

L Р_____________ J

Р_____________________

IX (15)

14 sh |Xj/p /? (н-i)

£ < ft

*Ro <=1

cp(p, £, ft)

=cp0

Д 7 1

chtjT

(1~ £)] ch7 ' /t/o(^

^

IX(16)

l > h

- R 0 i=i

l^i sh|Aj/p/? (|лг)

Здесь

[1/ — положительный

корень

уравнения

J 0 (p-i) =

0;

J0 (x) — функция

Бесселя

первого рода нулевого порядка;

J x (х) — функция

Бесселя

первого рода первого порядка;

безразмерные

координаты и

параметры:

Р

%h0

IХ( 17)

Найдем потенциал для линии стоков (рис. 43). В формулах IX (15)

и IX (16)

примем

q = q (ft) = const

при

0

<

ft <

1;

ft = -£-

IX (18)

«0

Очевидно,

что

потенциал для линии стоков будет

ф = ftol ? (Р,l,h)dh,

1Х(19)

о

где ср

определяется по формулам

IX (15) и IX (16). Интегрируя

IX (19),

после некоторых преобразований получим окончательно:

In R0 +

«о

c h ^ e s h !^ -(i_ /l) /0( ^

|)

Ф — Ф0

=

±

2 2

— i — s-J!-----5-----------

I < h

2nhho

i= l

И? sh (Aj/p /? (fif)

IX (20)