ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
Р и с . 34. Индикаторные кривые для притока малосжимаемой жидкости но ли нейному и нелинейному законам фильтрации
лР
Ри с . 35. Индикаторная диаграмма для газовой скважины при линейном законе
фильтрации
ной формулой для градиента давления VI 1(8), которая для инди каторной кривой запишется в виде
Д p = AQ + BQ* |
VII(33) |
Графически уравнение VII (33) изображается |
параболой ОАВ |
(рис. 34). При испытаниях скважин получаются иногда кривые вида ОА'В', направленные выпуклостью к оси ДР. Как указы вается В. Н. Щелкачевым, такие кривые являются следствием неустановившихся процессов.
Для притока газа опытную зависимость обрабатывают по
формуле |
|
Дp2 = aQ + bQ2 |
VI 1(34) |
В формулах VII (33) и VII (34) коэффициенты А, В, а и в счита ются постоянными и определяются опытным путем. Однако, как показали исследования последних лет, они меняются во времени, поскольку меняются характеристики пористой среды и жидкости (газа).
Заметим, что указанные коэффициенты могут быть определе ны приближенно и теоретическим путем, на чем мы остановимся в гл. IX.
VIII. БЕЗНАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
1.Особенности безнапорного движения
Впредыдущих разделах мы рассматривали движение жидко сти в порах по всей мощности пласта. При этом пьезометрическая поверхность располагалась выше кровли пласта (рис. 10, 34). Здесь мы рассмотрим движение жидкости, свободная поверхность которой находится ниже кровли пласта и является в то же время пьезометрической поверхностью. Такое движение называется безнапорным. Примерами безнапорного движения могут служить
фильтрация грунтовых вод через земляную плотину и приток их к скважине— колодцу (рис. 36, 37).
Безнапорное движение жидкости встречается также при шахт ной добыче нефти, в условиях гравитационного режима и вследст вие истощения пластовой энергии, когда уровень жидкости (свобод ная поверхность) оказывается ниже кровли пласта.
Р и с . 36. Схема безнапорного течения через проницаемую перемычку при горизонтальном непроницаемом основании
77
2
Для инженерных расчетов пользуются гидравлической тео рией безнапорного движения, которая является неправильной. Однако расчетные данные для дебитов хорошо совпадают с экспе риментальными результатами. В описании же свободной поверх ности в приближенной гидравлической теории имеется большая погрешность, так как не учитывается промежуток высачивания ВС
(рис. 36).
Введем некоторые понятия. Уровень Нх называется верхним бьефом, уровень Н2— нижним бьефом; ВС — промежуток выса чивания, через который жидкость сочится в атмосферу и стекает в нижний бьеф. Поверхность АВС представляет собой пьезомет рическую (депрессионную) поверхность. Свободная поверхность АВ всегда выходит выше нижнего бьефа. Те же самые понятия ос таются и для безнапорного притока к колодцу.
Основная трудность точного решения задач безнапорного дви жения состоит в том, что неизвестна форма области движения жидкости, тогда как при напорной фильтрации она известна, поскольку кровля и подошва фиксированы.
Некоторые точные решения для безнапорного движения через прямоугольную перемычку выполнены П. Я- ПолубариновойКочиной. Для притока к колодцу до сих пор точного решения не имеется.
78
|
|
|
|
s c |
Р и с . |
38. Схема к выводу дифференциального уравнения стационарной без |
|||
|
напорной фильтрации через прямоугольную перемычку |
|
||
Рассмотрим приближенную гидравлическую теорию. |
Прове |
|||
дем |
произвольное |
вертикальное сечение |
в безнапорном |
потоке |
(рис. |
38), где А есть ордината точки свободной поверхности |
в дан |
||
ном |
сечении, i = |
sina— уклон свободной |
поверхности. Делают |
|
ся следующие допущения: 1) горизонтальные компоненты скоро
сти распределены равномерно; 2 ) |
давление |
вдоль вертикали |
рас |
||
пределено по |
гидрастатическому |
закону, т. |
е. «напор» Н = |
Z + |
|
+ р/у = Н (х, |
г). «Напор», таким |
образом, |
вдоль каждой верти |
||
кали предполагается постоянным. |
Эти предпосылки допустимы |
||||
в тех областях течения, где г'2< < |
1 |
и кривизна линии тока меньше |
|||
i, т. е. вдали от промежутка высачивания ( |
i'x. 1). Будем считать, |
||||
что над свободной поверхностью |
Р = Par. т. |
е. избыточное давле |
|||
ние равно нулю. Принимая за избыточное давление р = 0, нахо дим, что «напор» И равен глубине потока 1г, т. е. Н = А,откуда по закону Дарси следует выражение для поверхностной скорости фильтрации
о„ = — С — = — С — |
VI 11(1) |
|
dS |
dS |
|
Горизонтальная компонента |
скорости |
фильтрации |
“ = - с £ |
VIIK2) |
|
Эта компонента предполагается постоянной вдоль вертикали. Вертикальная компонента по условию равна нулю-
79
Расход на единицу ширины потока f — 1 запишется выраже нием
q — uhf = — c h ^ |
VI11(3) |
Итак мы видим, что отличительным признаком безнапорного дви жения является линейная зависимость потенциала или функции Н на свободной поверхности от вертикальной координаты Z.
2. Гидравлическая теория безнапорного движения через прямоугольную перемычку на горизонтальном основании
Определим из VIII (3) уравнение свободной поверхности. Раз деляя переменные и интегрируя, получим
qx |
ch! . |
, |
«= — ----- P const |
||
|
2 |
|
Используя граничные условия (рис. 36)
х = 0 |
при |
h == Hv |
х = 1 |
при |
h — tf 2, |
ch\
находим |
const = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
CH\ |
|
qi |
-------- 4- const |
|
|
= ■ |
2 |
|
Решая совместно VIII (6 ) и VIII (7), находим расход q =
V III(4)
VI11 (5)
VIII(6 )
VI11 (7)
VI11 (8 )
Подставляя VIII (6 ) в VIII (4) и учитывая VIII (8 ), находим
/i = j / " Н\ - glZ lffi х |
VI11(9) |
Получили уравнение параболы. Таким образом, поверхность деп рессии является параболой (линия АС, рис. 36). В действительно сти формула VIII (9) несправедлива. Это видно из следующих со ображений. При Н 2 = 0 у выхода в нижний бьеф (х = 1) из фор мулы VIII (9) получаем, что h = 0. Это приводит к бесконечной
скорости фильтрации U — | = |
оо, что |
невозможно. |
Поэтому |
|
необходимо, |
чтобы выполнялось |
условие |
Н а, т. |
е. должен |
существовать |
промежуток высачивания. |
|
|
|
80
Формула Дюпюи VIII (8 ), хотя и выведена из допущений гид равлической теории, является строго точной. Строгое доказатель ство ее дано И. А. Чарным [5, 6 ].
3. Гидравлическая теория безнапорного притока к совершенной скважине
Рассмотрим приток к совершенной скважине. Все обозначения даны на рис. 37. Движение считаем установившимся,т. е. Q и h — = h ,(,/-) от времени не зависят. Скважину считаем стоком, следо вательно, дебит будет положительным.
Скорость фильтрации по закону Дарси
dh |
VIII(IO) |
vr = — c — |
Если f — 2ttrh— площадь фильтрации при плоскорадиальном притоке, то дебит скважины выразится формулой
Q = f\vr\ = 2 я rhC |
V III(ll) |
Знак минус здесь не ставим, так как мы рассматриваем скважи ну сток, а функция h — h (г) является возрастающей функцией расстояния.
Разделяя переменные в уравнении VIII (11) и интегрируя, полу
чим
Q In г = |
я с/г2 -+- |
const |
VI 11(12) |
Из граничного условия h = |
Нк при |
г = R K находим |
|
const = Q In RK— я CHl |
VIII(13) |
||
Подставляя VIII (13) в VIII (12), найдем уравнение свободной по верхности (АСС'А', рис. 37). Используя второе граничное условие h = Нс при г = гс и выражение VIII (13), из VIII (12) получаем формулу Дюпюи
KCl Hi |
■т |
Q = |
VIII (14) |
In |
R* |
Формула VIII (14), как и формула VIII (8 ), является строго точной.
4. Дифференциальные уравнения гидравлической теории нестационарной безнапорной фильтрации
Согласно гидравлической теории безнапорного движения счи тается, что напор Н — Н (х, у, z, t) является постоянной величи ной вдоль каждой вертикали, а горизонтальные проекции скоро-
81