Файл: Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

сти фильтрации U, V равномерно распределены вдоль каждой вертикали. Тогда напор равен глубине потока (Н =~ h) и компонен­ ты скорости запишутся в следующем виде

и

VIII(16)

Составим уравнение неразрывности для нестационарного грун­ тового потока. Выделим элемент грунта высотой Н = h и площа­ дью сечения dxdy (рис. 39). За время dt в параллелепипед поступает

= (qxdy + qydx) dt'

Вытекает за то же время

Следовательно, накопленный объем за время dt составит

Этот объем идет на повышение высоты Н, которая за время dt

дН

меняется на величину -щ- dt. Учитывая пористость т, изменение

объема можно записать еще в таком виде

82

IX. УСТАНОВИВШИЙСЯ ПРИТОК ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТОВОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА К НЕСОВЕРШЕННЫМ СКВАЖИНАМ

1. Краткий обзор

Многочисленные работы, посвященные задачам пространствен­ ной теории фильтрации жидкостей и газов в пористой среде, сви­ детельствуют о большом практическом интересе к ним при проек­ тировании и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений. Большой интерес также представляют задачи безнапорного при­ тока жидкости к гидродинамически совершенным и несовершен­ ным скважинам и дренам при эксплуатации подгазовых нефтяных залежей.

Сделаем краткий обзор и критический анализ основных работ, относящихся к задачам о притоке пластовой жидкости к гидроди­ намически несовершенной скважине. Впервые задача о распре­ делении потенциала скорости фильтрации в цилиндрическом плас­ те, частично вскрытом скважиной, была решена М. Маскетом в 1932 году. Затем более детальное исследование этой задачи М. Маскет изложил в своей монографии в 1946 году. При этом, используя метод отображения источников — стоков, получил решение для точечного стока в неограниченном пласте с непроницаемой кров­ лей в виде расходящихся рядов. Таким же путемП. Я- Полубари- нова-Кочина вывела расчетные формулы для дебита наклонной,

циала скоростей фильтрации в ограниченном пласте при работе несовершенной скважины. Здесь так же, как и в случае неогра­

84

несовершенной по степени вскрытия пласта конечной мощности. Применяя метод бесконечного отображения элементарного стока с заданной интенсивностью вдоль линии поглощения (ось верти­ кальной скважины) относительно непроницаемой кровли и подош­ вы и суммируя члены для отдельных стоков, Маскет после неко­ торых преобразований получил два приближенных решения о рас­ пределении потенциала в пласте. Одно из решений пригодно для

нефтенасыщенная мощность пласта).

На основе исследования М. Маскета о распределении потен­ циала в цилиндрическом пласте И. А. Чарный предложил ориги­ нальный метод решения задачи о притоке к несовершенной сква­ жине по двухзонной схеме. Развивая идею И. А.Чарного, А. М. Пирвердян получил приближенные формулы для притока жидкости к несовершенной скважине.

Схема двухзонного притока получила широкое применение при решении многих задач подземной гидродинамики. Наиболее точное решение задачи о притоке к несовершенной по степени вскрытия пласта скважине дано М. И. Швидлером, который поль­ зовался методом квазиконформных преобразований и рассматри­ вал скважину с открытым забоем и непроницаемым дном.

Приток жидкости и газа к скважине, гидродинамически со­ вершенной по степени и несовершенной по характеру, рассматри­ вался рядом авторов. Впервые этот вопрос был поставлен М.Маскетом и рассмотрен в 1943 г. Затем появляются работыМ. И. Тихова (1947) и А. Л. Хейна (1953) в более точной постановке задачи М. Маскета, где формулируется основной закон об оптимальном числе перфорации. В 1954 г. А. Л. Хейн разработал теорию уста­ новившегося притока жидкости и газа к несовершенной скважине с меридиально-симметричной конструкцией забоя, после чего по­ следовал ряд его же работ, посвященных задачам установившего­ ся и неустановившегося притока жидкости и газа к несовершен­ ным скважинам при линейном и нелинейном законах фильтрации.

Новая и наиболее общая математическая постановка задачи о притоке несжимаемой жидкости к скважине, полностью обсажен­ ной и перфорированной, изложенаМ. Н. Тиховым в его моногра­ фии (1964). Однако эти решения представляют скорее теоретиче­ ский интерес и далеки от их практического инженерного приложе­ ния.

Задачи нелинейной фильтрации и притока газа к несовершен­ ным скважинам исследовались теоретически и экспериментально Е. М. Минским. Как показали анализы, результаты эксперимента и теоретических расчетов достаточно близки.

Еще большие трудности встречает строгое математическое решение задачи о притоке к несовершенной скважине и по степени и по характеру вскрытия пласта. М. М. Глоговский изучал приток

85

к несовершенной скважине с различными видами несовершенст­ ва. В частности, он рассмотрел очень сложную задачу о притоке жидкости к скважине, полностью обсаженной, но в различных ин­ тервалах перфорированной. Решение получено приближенное. И. А. Чарный изучал приток к скважине,обсаженной по всей мощ­ ности однородно-анизотропного пласта и перфорированной в верх­ ней его части. Решение получено в виде бесконечного ряда, выра­ женного через функции Бесселя. Ряд сложных задач был решен с помощью электромоделирования. Так, В. И. Щуров методом элек­ тролитического моделирования исследовал распределение потен­ циала в пласте, вызванного работой несовершенной по степени и характеру вскрытия скважиной. По данным опытов построена сет­ ка кривых, позволяющая определять величину фильтрационного сопротивления. За последнее время появилось много новых работ, в которых рассматриваются вопросы определения коэффициента совершенства по промысловым данным, влияние частичного вскры­ тия пласта и скин-эффекта на кривую восстановления забой­ ного давления и продуктивность скважины; предлагаются наи­ более эффективные методы определения фильтрационных сопро­ тивлений, обусловленных несовершенством скважин, и так далее.

Еще в 1949 г. В. Н. Щелкачев, производя критический анализ работ, посвященных притоку пластовой жидкости к несовершен­ ной скважине, указывал на необходимость дополнительных теоре­ тических и лабораторных исследований и промысловых испытаний. Анализируя работы М. Маскета (1943), Додсона и Кардуэлла (1944), Миллера (1940) и М. Н. Тихова (1947), В. Н. Щелкачев указывал на возможность обобщения формул для коэффициента совершенства при притоке однородных жидкостей на случай при­ тока газа и газированных жидкостей и пришел к весьма важному выводу, что степень и характер совершенства скважины сущест­ венно влияют на величину понижения давления в ней. До того вре­ мени этот факт исследователями недооценивался.

Для притока жидкости к горизонтальным и наклонным сква­ жинам, дренам и трещинам известны решения П. Я- Полубарино- вой-Кочиной, А. М. Пирвердяна и др. Задачи рассматривались ав­ торами в различней постановке и решались в большинстве случаев

задачи установившегося притока однородной несжимаемой жид­ кости в недеформируемом однородном или однородно-анизотроп­ ном пласте по линейному закону фильтрации. Правда закон Дарси, как правило, для большинства случаев фильтрации жид­ кости и газов сохраняется и является, таким образом, основой многих теоретических исследований. Однако в некоторых усло­ виях отклонение от закона Дарси может быть существенным. Это подтверждается многочисленными лабораторными опытами и про­ мысловыми исследованиями скважин. Поэтому изучение режимов

86

фильтрации и выявление пределов применимости линейного зако­ на Дарси имеет как теоретический, так и практический интерес.

Обширные исследования неустановившегося притока жидко­ сти и газа к гидродинамически несовершенным по характеру вскры­ тия пласта скважинам впервые были проведены А. Л. Хейном. Укажем еще на работу М.Т. Абасова и К- Н. Джалилова и на ра­ боты Ю. И. Стклянина.

За последнее время все более и более привлекают внимание гидродинамиков задачи фильтрации вязко-пластичных жидкостей. Известно, что движение вязко-пластичных жидкостей в пористой среде описывается обобщенным законом Дарси или законом филь­ трации с предельным градиентом давления сдвига. Основы теории течения неньютоновских жидкостей впервые были разработаны А. X. Мирзаджанзаде, затем они получили свое дальнейшее раз­ витие в работах других исследователей. Задачи притока ненью­ тоновских жидкостей к несовершенной скважине оказываются весьма сложными и остаются пока еще малоизученными.

В более общей постановке задача об установившемся прито­ ке однородной или фиктивной жидкости к несовершенной скважи­ не может быть сформулирована следующим образом. На внешнем

производная, равная нулю. Требуется найти распределение функ­ ции (давление, потенциал, функция Лейбензона или Христиановича) в пласте. В точной постановке — это задача Гильберта — Римана, аналитическое решение которой для данного случая еще не получено.

Решение задачи усложняется необходимостью учета неодно­ родности пласта и точного выполнения условий на скважине. Преодолеть эти затруднения можно при помощи электромодели­ рования или путем численного решения на электронных вычисли­ тельных машинах. Однако получаемые при этом результаты при­ менимы только к строго конкретному случаю и не могут быть ис­ пользованы для анализа влияния различных факторов на приток к скважине. Поэтому для каждого нового случая требуется но­ вое моделирование или новое вычисление на электронной машине (составление программы, ее исследование и отладка), что прак­ тически весьма затруднительно.

2. Решение Маскета для притока к единичной несовершенной по степени вскрытия пласта скважине

В подземной гидрогазодинамике различают два вида несовер­ шенства скважин — по степени и по характеру вскрытия пласта. Несовершенная скважина по степени вскрытия — это скважина, вскрывшая пласт частично, а не на всю мощность. Если пласт вскрывается на всю мощность и не обсаживается колонной, такая

87