Файл: Телков, А. П. Подземная гидрогазодинамика.pdf

в) Обобщенная интерпретация законов фильтрации. Итак,

движения жидкостей и газов в пористых средах, как и в трубопрово­ дах, принято делить на линейные и нелинейные. При решении различных задач подземной гидродинамики для случаев нелиней­ ной фильтрации за основу обычно берут формулу Дарси, в кото­ рой градиент давления возводится в некоторый показатель степени, или линейный закон фильтрации представляют двучленной форму­ лой вида II (28), одно из слагаемых которой также выражает закон Дарси. Существуют также и одночленные нестепенные формулы вида II (27), выражающие нелинейный закон фильтрации, где вво­

фильтрации считается параметр Дарси (Да), введенный В. Н. Щелкачевым (1946).

Здесь мы не будем приводить и повторять те многочисленные формулы, которые описывают нелинейные законы фильтрации, а

Мы ввели некоторый коэффициент К* как функцию скорости фильтрации, а также как функцию, зависящую от структуры по­ ристой среды, пористости и т. д., т. е., другими словами, как функ­

цию обобщенного критерия Рейнольдса R*e.

Ясно, что формула II (33) является обобщенным законом филь­ трации. На самом деле, для линейного закона фильтрации должно

быть R t ~ 1 и из II (33) следует линейный закон Дарси. Для не­ линейного закона фильтрации А.*>1. Таким образом, коэффи­ циент к* показывает степень отклонения от линейного закона фильтрации. Если проинтегрировать уравнение II (33), то получим

скорости фильтрации по аналогии с движением жидкостей в трубах

22

л *

Р и с . 7. Универсальная зависимость коэффициента гидравлического сопротив­ ления от обобщенного критерия Рейнольдса Re *

привело к тому, что в диапазоне линейного закона фильтрации с увеличением скорости фильтрации коэффициент X уменьшается. Это вносит в закон Дарси излишнее усложнение. Величина коэффициента Я, определенная на основе обработки экспериментальных данных по формуле II (27), может меняться в огромном диапазоне:

от 10 до 10".

Попытка получить универсальную характеристику для всех образцов пористых сред, исходя из формулы II (27), делалась мно­ гими авторами, но оказывалась безуспешной.

Существенные достижения в этой области достигнуты А. И. Абдулвагабовым, выполнившим наиболее полные экспериментальные исследования по установлению верхней границы применимости закона Дарси. Однако диапазон изменения критического числа R t для различных образцов пористых сред оказался весьма широк. Здесь так же, как и в ранних исследованиях, экспериментальная обработка зависимости Я = [ (Re) в логарифмических координатах дает единую прямую для разных сред в линейной области и раз­ ветвленную ветвь кривых в области нелинейной фильтрации.

Впервые универсальную кривую в координатах Да, R* (R * -=

= vpKC'/'i, С' — коэффициент пропорциональности, характе­ ризующий пористую среду и имеющий размерность L.—1) удалось получить Н. П. Лебединцу [10] из экспериментальных данных Г. Ф. Требина. При этом параметр Да меняется, сравнительно с коэффициентом Я, в очень узком диапазоне: от 1 до 0,05, что соот-

23

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНОЙ ж и д к о с т и

1. Дифференциальные уравнения изотермической фильтрации без учета массовых сил. Уравнение Лапласа]

Для характеристики неустановившегося движения (т. е. когда скорости фильтрации, дебиты меняются со временем) оказывается необходимым использовать методы математической физики, осно­ ванные на составлении и интегрировании дифференциальных урав­ нений. При фильтрации однородной жидкости неизвестными функ­ циями являются: 1) давление Р в любой точке пористой среды; 2) плотность р жидкости; 3) вектор скорости фильтрации v, пред­

ставленный 3-мя компонентами по координатным осям; 4) т — по­ ристость; 5) температура среды Тср\ 6) температура жидкости Тж. Таким образом, имеем 8 неизвестных функций. Но ввиду малых скоростей фильтрации в пласте движение остается практически изотермическим, поэтому число неизвестных сокращается до шести.

Итак, мы установили шесть неизвестных функций. Перейдем к их выводу. Введем уравнения фильтрации как обобщение закона Дарси, который в векторной форме, как это было показано раньше, имеет вид:

При такой записи массовыми силами для сжимаемой жидкости пре­ небрегаем. Уравнение неразрывности (сплошности) фильтрации жидкости в пористой среде записывается в виде:

25

Здесь pv— вектор массовой скорости фильтрации.

Если спроектировать вектор скорости фильтрации и на коорди­ натные оси, то модули составляющих векторов запишутся в виде

Выражение III (4) представляет собой уравнения движения жид­ кости в пористой среде. Чтобы система уравнений была замкнутой, необходимо добавить уравнение состояния

ри р0; К0 — модуль упругости жидкости.

Пористость является функцией давления

Считают, что для реальных пластов изменение пористости подчиняется закону Гука

Ас

где Кс— модуль упругости пористой среды.

26

Оказывается, если заданы одинаковые граничные условия и

Уравнение Лапласа является линейным, а для последних справед­ лив принцип суперпозиции, т. е. сумма частных решений линей­ ных уравнений, умноженных на произвольные постоянные, также является решением этого линейного дифференциального уравне­ ния. Математически это выглядит так. Если имеется несколько филь­ трационных потоков Фь Ф2, Ф3, .... Ф„, которые удовлетворяют

Итак, потенциалы отдельных фильтрационных потоков несжимае­ мой жидкости складываются алгебраически, а векторы скорости фильтрации — геометрически.

27