Файл: Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов.pdf

Скачать файл (7,50Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 55

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Проверка условия ортогональности, например, для

столбцов Х\ и Х 2 \

£ хих2и= ( - и .•( - 1) + (+ 1).. ( - и + ( - и .. (+ о +

Н =1

Таблица 4

Матрицы полного факторного эксперимента от 22 до 25

о. га а>н

План	gg	X,	X.	X,	X,	Хь
	К о
	1	+	+	+	+	+
22 2		-	+	+	+	+
2	3	_\|	—	+	+	+
					+	+
23		±	i		+	+
23		±	i		+	+
		+	-		+	+
					+	+
	9	+	+	+		+
	10	+	+	+		+
21	11	+		+		+
21	12		—	+		+
	12	+	+	+		+
	13	+	+			+
	14	—	+	—		+
	15	+		—		+
	16					+
	17	+	+	+	+
	18	—	+	+	+
	19	+	—	+	+
	20	—	—	+	+
	21	+	+		+
	22	—	—+	—	-L
	23	О-	—+	—	1
	23	1			+
	24		—	—	+
	25	+	+	+
	26	—	4*	+	—
	27	+	—	+	—
	28	—	—	+	—
	29	+	+		—
	30		+	—	—
	31	+		—	—
	31	+		—	—
	32	—	—	— •	—

4 - ( -1- 1) • ( + 0 = 0 и т . д ,

	В	приведенной мат
рице		учтены		все		воз
можные				сочетания
двух		факторов.				Число
сочетаний равно						22—
.= 4 .		В	общем		случае
п	факторов			получим
полное			число		сочета
ний двух уровней 2п =
—	N .	Подобные планы
эксперимента					называ

ют полным факторным экспериментом 1-го по рядка, или сокращен но, экспериментом 2п:

Способ построения матриц 2п ясен из табл. 4, где каждая из них получается до страиванием матрицы

2(п- ]).

Из формулы (10) следует, что для рас чета коэффициента bi из матрицы планирова ния используются ТОЛЬКО столбцы X i u и уи. Поэтому при пла не 22 раздельно оцени ваем коэффициенты Ь0, Ь\, Ь2 н b 12, и можно построить модель вида

У — b0 + bL Хг Ъг Хг

— Ь1ЪХг Х%, (24)

но не удастся проверить ее адекватность. В самом деле, в формуле (15) для оценки адекватности число степеней свободы v равно N—d\ в нашем примере N = 4 , d — 4, следовательно, v = 0.

На практике часть коэффициентов нередко оказывает ся незначимой, тогда v> 0 и проверка адекватности воз можна. Если у технолога есть основания полагать, что один из факторов Х\, Хо или их взаимодействие Х\Х2сла бо влияет на у, то при плане 22 можно проверить адек ватность соответствующей модели

У — Ьо + by Х± -\- Ъ12 Ху Х2

или

У= Ь0 + ЬуХу-\- b2X2.

Влитературе коэффициенты при Xi именуются ос новными, или линейными эффектами факторов, а коэффи циенты при произведениях факторов (например, Ь\2) —

эффектами взаимодействий.

Вобщем случае, план 2” позволяет оценить 2n= N линейных эффектов и эффектов взаимодействий двух, трех, ..., п факторов. Например, план 23 позволяет сде лать расчет всех коэффициентов модели независимо один от другого;

У = Ьо + Ьу Ху + Ь2 Х2 + Ь3 Х3				Ь12 Ху Х2 -j-
	+ bia Ху Х3 -(- Ь23 Х2 Х3 +		Ь123	Х2 Х 3.		(25)
Аналогично для плана 24:
y = b0 +	t b , x t +	v bijx i x i +	V	bilkX l X , X k +
	i—j	i./—1	i . j, k— 1
		I</	l<i<k
	“I” by234 -Yj X2 Xz "Y-l-
Напомним порядок использования расчетных формул
для планирования типа 2 ":
Кодирование переменных ...........................				(23)
Оценка	дисперсии	воспроизводимости
на основании Параллельных опытов . .				(19)		—
Проверка однородности дисперсий вое-				(20),	прил'оже-
производимости ......................		.....		ние III
3’						35

Усреднение дисперсий воспроизводимо
сти ......................................................................	(21,	22)
Оценка дисперсии ошибки определения	(11)
коэффициентов модели ................................	(11)
Оценка критического значения коэффи		(17),п
циента .		(17),п
Расчет коэффициентов модели . . . .	ние II
Расчет коэффициентов модели . . . .	(10)
Расчет дисперсии неадекватности мо
дели ......................................................................	(15)
Составление и оценка значимости отно
шения дисперсии неадекватности и вос
производимости ............................................	(18),	приложе
	ние I.

Во многих задачах технолог априорно предполагает, что при моделировании процесса достаточно ограничить ся линейной моделью или моделью с линейными членами и частью возможных взаимодействий. Особенно типична

такая ситуация для многофакторных (п ^ 4)	задач:
а) чем больше п, тем меньше обычно объем	априорной
информации;

б) маловероятно влияние тройных и более взаимодейст вий факторов; в) на первой стадии многофакторного эксперимента

обычно только намечается направление движения к оп тимуму и достаточно аппроксимировать исследуемую часть поверхности отклика г/(х,) плоскостьюУ

У— Ь0 -\- bL Х1 -!-■•• ф Ъп Хп\

г) с ростом /г быстро возрастают сроки и стоимость экс

перимента: 24= 1 6 опытов, 2б= 6 4 опыта и т. д. В то же время для оценки адекватности линейного уравнения в плане 23 остается 1 степень свободы, а в плане 2б уже 57 степеней свободы! Конечно, чем больше опытов, тем точнее оценки коэффициентов модели — каждый из них, согласно формулам (9), (10), определяется с учетом результатов всех опытов. На практике при /г^З-=-4 обычно достаточно для начала исследования получить хотя бы не очень точную линейную модель, избежав за трат на получение той части информации, которую несут эффекты взаимодействий факторов. Для решения подоб ных задач используют часть плана полного факторного эксперимента — так называемые дробные реплики.

ОПТИМИЗАЦИЯ ВОЛОЧЕНИЯ и отжигов БИМЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКИ МЕДЬ+СЕРЕБРО (ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ТИПА 23)*

Общая постановка задачи и априорное ранжирование факторов этого исследования описаны в гл. II. На осно вании диаграммы рангов исследовали влияние суммар ной вытяжки между отжигами X (фактор x t) , температуры 0, °С промежуточного отжига (фактор х2) и длитель-

Рис. 4. Распределение средней толщины h (/) и разнотолщиипостн <7 (2) по длине прессованного прутка

ности отжига т (фактор х'з) на отношение М коэффи циентов вариации толщины серебряной оболочки прово локи диаметром 0,8 мм и исходного прессованного прут ка диаметром 12 мм (параметр оптимизации у).

На рис. 4 представлено распределение средней тол щины и коэффициента вариации q толщины оболочки по длине одного из двух исходных прутков. Поскольку q изменяется в некоторых пределах, в качестве параметра оптимизации приняли именно М а не q проволоки. Ти пичное распределение толщины оболочки по окружности иллюстрируют рис. 2 и 5. Уровни и интервалы варьиро вания факторов представлены в табл. 5, матрица плани рования 2 3, результаты измерений и расчетов по полу ченной модели — в табл. 6.

* Выполнено совместно с аспирантом Ю. А. Воропаевым.

Толщина ofo/мчки tl, MKM

Phc. 5. Распределение толщины серебряного слоя по периметру поперечного сечения

						Т а б л и ц а 5
Уровни и интервалы варьирования факторов
				Уровни		Интервал
Фактор		Код	верх	нуле	ниж	Интервал
Фактор		Код	верх	нуле	ниж	варьирования
			ний	вой	ний	A*v£
			И-)	(0)	( - )	A*v£
			И-)	(0)	( - )
Вытяжка %		X о	15,2	9,55	3,9	5,65
Температура 0,	°С	X о	520	460	400	60
Длительность	отжига		1,0
т, ч		* 3	1,0	0,75	0,5	0,25

Уравнение-модель процесса, которая строится при планировании 23, имеет видУ

У =	Ь0 + Ь1 Хг -\|- b2 Х2 b3X3 -\|- bi2Хг Х2 -\|-
“Ь ^13 -^1 ^3 + ^23 ^ 2 ^3 + ^123			Х2 Х3,
А		оптимизации" М\
где у — параметр		оптимизации" М\
Х\, Х2,	Х3— кодированные значения		факторов
	_	хс— 0,5 (max xt -f- minx,-)
	1	0,5 (шах х^ -— min Х[)	’

b0, b\, ...— неизвестные коэффициенты модели. Модель позволяет раздельно оценить не только влия

ние каждого фактора, но и влияние парных взаимодей ствий факторов, а также влияние тройного взаимодейст вия Хи Х2, Х2.

Построение модели и проверка ее адекватности опыт ным данным производится по стандартным формулам планирования 2 ":

1 . П р о в е р к а в о с п р о и з в о д и м о с т и — проверя ется гипотеза об однородности выборочных дисперсий:

		s2 [Ух\=		s2 {%}=■■• = s2 {*/„} =				s2{*/},
									Таблица 6
	Матрица планирования, результаты опытов и расчетов
			изменения разнотолщинности оболочки
и	Уровни факторов					Опытные данные				Расчет
и
Номер опыта	А',	х й	X ,	%	ft. %	ft. %	Ml	М,	Ми
Номер опыта	А',	х й	X ,	%	ft. %	ft. %	Ml	М,	Ми	Ми
				^исх’						А
				^исх’
1	+	+	+	3,71	7,48	8,20	2,02	2,21	2,10	2,10
2	—	+	+	3,68	7,02	6,99	1,91	1,90	1,90	1,90
3	+		+	4,40	7,71	7,П	1,75	1,62	1,70	1,775
4	—	—	+	3,17	7,66	7,41	2,42	2,34	2,40	2,325
5	+	+	—	3,83	6,97	7,86	1,82	2,05	1,90	1,90
6	—	+	—	3,58	6,34	6,13	1,77	1,71	1,70	1,70
7	“1"	—	—	3,53	8,28	8,38	2,35	2,37	2,40	2,325
8	—	—	—	3,21	8,83	9,04	2,75	2,82	2,80	2,875
		—