Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

В. И. КРЫЛОВ, Н. С. СКОБЛЯ

МЕТОДЫ

ПРИБЛИЖЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

СПРАВОЧНАЯ КНИГА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М о с к в а 1974

высшей степени точности (97). § 5.3. Методы вычисления коэф­ фициентов и узлов квадратурной формулы (112).

Глава 6. Методы обращения преобразования Лапласа с помощью квадратурных формул с равными коэффициентами . . . 121

§ 6.1. Построение вычислительной формулы (121). § 6.2. Замечание о расположении узлов (124).

ч а с т ь в т о р а я

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ОБРАЩЕНИЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ч а с т ь т р е т ь я

ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Проблема приближенного обращения преобразования Лапласа и, в особенности, численного его обращения воз­ никла из потребности довести решение до числа в том случае, когда существующие таблицы функций и их изо­ бражений не дают возможности по изображению найти оригинал или требуют очень больших вычислений.

Было построено, особенно за два последних десятиле­ тия, много способов обращения. Они опубликованы раз­ розненно в специальных журналах и книгах и известны, как правило, неширокому кругу лиц. Насколько осведом­ лены авторы, в научной литературе нет книг, содержащих систематическое изложение всех этих методов *).

Авторы хотели написать книгу, где было бы дано достаточно полное описание современного состояния про­ блемы обращения, и хотели сделать книгу полезной тем, кто применяет преобразование Лапласа к решению тех или иных задач. Первое из этих намерений можно было осу­ ществить просто, так как литература по проблеме обраще­

пристрастный ответ здесь даст время, но авторы считают, что в этом отношении в адрес книги может быть сделано несколько замечаний. Наиболее важным из них, несом­ ненно, будет справедливое замечание о недостаточной исследованности проблемы и о еще малом числе получен­ ных результатов. Чтобы быть лучше понятыми читателя­ ми, не знакомыми с проблемой обращения преобразования

*) Некоторым исключением здесь является книга [8], но ее целью было объединение всех известных вспомогательных численных таблиц, предназначенных для вычисления интеграла Меллина. Математическая же теория обращения преобразования Лапласа в ней дама в очень сокращенном виде в форме краткого справочника, поясняющего таблицы.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

Лапласа, авторы должны здесь сделать некоторые пояс­ нения. Для этого авторы прибегли к нестрогим, но на­ глядным соображениям.

Проблема обращения есть не что иное, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода

нием, и операция интегрирования, которая выполняет усреднение / с весом е~рх, может значительно сгладить особенности в поведении преобразуемой функции /.

В задаче обращения нужно по изображению F (р), изменяющемуся, ввиду его аналитичности, очень плавно, восстановить все возможные неровности поведения ориги­ нала f{x). Поэтому можно ожидать, что аппарат, при помощи которого решается задача обращения, не может быть простым и грубым, а должен быть достаточно слож­ ным и чувствительным даже к малым оттенкам в поведе­ нии F (р), чтобы выполнить «тонкую работу» восстановле­ ния оригинала f(x).

Обратим внимание еще на одно свойство проблемы обращения — на неустойчивость оригинала / относительно малых изменений изображения F. Такая неустойчивость

любому изменению, быть может даже сильному, но на очень малом отрезке. Новый оригинал назовем fv Такое изменение незначительно повлияет на интеграл и мало изменит изображение F (р), так что новое изображение Рг(р) будет близким к F (р).

Мы могли бы построить новый оригинал flt изменяя / не на одном участке полуоси 0= ^х -< оо , а на многих

.ее участках, но так, чтобы общая сумма длин этих участков

была бы достаточно малой величиной, все равно при этом новое изображение Ft (р) можно было бы сделать сколь угодно близким к F (р), так что близким изображениям F (р) и F1(p) могут отвечать оригиналы f (х) и Д (л:), сильно отличающиеся между собой на многих участках полуоси О г ^ х с о о .

Теперь можно более полно объяснить, в каком отноше­ нии содержание книги следует считать недостаточным, и попытаться указать причины, по которым авторы нахо­ дят, что эти недостатки вряд ли могут быть устранены

вближайшие годы.

Внастоящее время мы находимся в самой начальной стадии построения теории приближенного обращения пре­ образования Лапласа. В большинстве публикуемых работ либо указываются видоизменения уже известных методов вычислений, либо создаются новые вычислительные схемы, не имеющие аналогов в прошлом. Примерами методов первого вида могут служить методы вычисления комплекс­ ного интеграла Меллина, основанные на идее интерполи­ рования или на. идее Гаусса достижения наивысшей сте­ пени точности, и др. Использование же ортогональных многочленов для обращения преобразования возникло только в связи с преобразованием Лапласа и не имело близких аналогов в прошлом.

Построение вычислительного метода или указание на возможность построения есть лишь первый шаг в созда­ нии теории метода. За ним должно следовать выяснение условий сходимости правила, определение скорости схо­ димости, нахождение оценки погрешности априорной и апостериорной, выработка способов улучшения сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой, и т. д. Исследования проблемы обращения в этом направлении особенно важны ввиду ее неустойчивости.

Как читатель увидит из содержания книги, результаты

такого рода получены в очень небольшом числе и лишь в самых простых случаях.

Главными причинами, препятствующими быстрому реше­ нию стоящих здесь задач, являются указанные выше два свойства проблемы обращения: неизбежная сложность математического аппарата обращения преобразования Лап­ ласа и неустойчивость проблемы обращения относительно изменений функций F, которая должна вызвать ту или

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

иную форму неустойчивости в любом вычислительном про­ цессе решения этой проблемы.

Недостаточная изученность правил приближенного обращения преобразования делает справочную книгу непол­ ной во многих отношениях. По-видимому, трудно ожи­ дать быстрого улучшения наших знаний в этих вопросах, и в ближайшие годы книгу, вероятно, невозможно будет освободить от такой неполноты.

До сих пор говорилось только об обращении преобра­ зования Лапласа, о гармоническом же анализе не упомина­ лось вообще. Это связано с тем, что в книге гармониче­ ский анализ рассматривается только в той мере, в какой он связан с проблемой обращения, а именно, из гармони­ ческого анализа взяты только задачи вычисления интегра­ лов Фурье, тесно связанные с обращением преобразова­ ния Лапласа, и вычисление интегралов Фурье есть для нас один из возможных методов решения проблемы обра­ щения. Поэтому все сказанное об обращении относится и к вычислению интегралов Фурье.

Книга предназначена широкому кругу читателей, зани­ мающихся теорией преобразования Лапласа или его науч­ ными и техническими приложениями. Поэтому авторы не стремились к лаконичности изложения и старались сделать его доступным не только для специалистов-математиков. Книга предполагает знакомство читателя с основами анализа и теории функций комплексного переменного в объеме втузовского курса математики с расширенной

программой.

Авторы