Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. [

большие таблицы соответствий между оригиналами и изображениями, при помощи которых по данному изобра­ жению можно определить оригинал. Но эти таблицы охва­ тывают далеко не все встречающиеся на практике слу­ чаи, притом часто значение оригинала выражается через очень сложные функции, которые трудно вычисляемы и не всегда табулированы. Тогда точное нахождение ориги­ нала или невозможно, или нецелесообразно. В связи с этим возникает необходимость в построении приближен­ ных методов обращения преобразования Лапласа, позво­ ляющих вычислять оригинал в широком классе случаев. Этим методам и посвящена первая часть предлагаемой

книги.

 

 

 

 

 

 

 

Теперь

напомним некоторые

хорошо известные факты

из теории преобразования Лапласа.

f(t), инте­

Пусть

на

полуоси 0 с / < о о

дана функция

грируемая *)

со

своим

абсолютным значением

на всяком

конечном

отрезке

[а, Ь] (0=^ а ■< b < оо).

 

Введем

комплексный

параметр

p = a-\-ix и определим

преобразование Лапласа

функции

f равенством

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

Р{р) = \ПГ)(Г*<и-,

(1.1.1)

 

 

 

 

о

 

 

 

при этом под значением несобственного интеграла по полуоси [0, оо) здесь понимают предел, к которому стре­ мится интеграл по конечному отрезку [0, В], когда Б->- оо, так что

со В

Говорят, что преобразование Лапласа применимо к функ­

ции /

при

значении параметра р, если для этого значе­

ния р сходится интеграл (1.1.1).

 

 

Можно

проверить,

что если преобразование

(1.1.1)

применимо

к / при

р = ра = а0-\- гт0, то

оно применимо

к /

при

всяком

значении р = а-\-1х,

для которого

Re (р — р0) = о — о0 >

0.

В самом деле, рассмотрим

функ-

*) Здесь и ниже интеграл понимается в смысле Римана.

§ 1.1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 11

дню

<р (t) = \ff(u)e-p«udu.

Если интеграл

(1.1.1) сходится

при

р — р0,

о

 

конечный предел

lim <р (/) и

то ср(/) имеет

является,

следовательно,

ограниченной

на

t —У СО

полуоси

О

t < оо:

 

 

 

 

 

 

 

| ф (/)

I

Q < ОО.

 

 

Для доказательства сходимости интеграла (1.1.1) вос­ пользуемся признаком Больцано — Коши. Возьмем три произвольных положительных числа а, Ь, с и будем счи­ тать R e (р — р0) = о — о0^ с . В приведенных ниже вычис­ лениях мы воспользовались интегрированием по частям:

а + Ь

5 / (t) e~pt dt

a-\~b

 

 

*(t) e-(P-P.)' R+b +

 

^

(p —Po)i d q

(/)

 

 

a-\-b

 

 

 

 

 

+ (p-Po) $

ф(/)е-<р-р»^Л

 

 

 

 

 

со

 

 

P - P o

 

:e-ca.2Q + \ p - p 0\Q^

e~ct dt = e~ca

2

Q.

 

Последний член приведенной цепочки соотношений не зависит от & и для всякого фиксированного р при увели­ чении а станет меньше любого наперед заданного поло­ жительного числа. Поэтому для интеграла, стоящего под знаком предела в (1.1.2), признак Больцано — Коши выпол­ няется и интеграл (1.1.1) сходится.

Более того, пусть р изменяется в ограниченной замк­ нутой области D, лежащей внутри полуплоскости Rе р > а а.

Для

р е й

существуют, очевидно, такие

числа с и М,

что

будут

выполняться

неравенства

Re (р — р0) =

— о —a0Ssc

и \р —р0| й^М.

Из полученных неравенств

следует, что признак Больцано —Коши будет выполняться

равномерно

относительно

параметра

р,

принадлежащего

 

 

ь

 

 

 

D. Так как

интеграл

$ f (t) erpt dt

есть,

очевидно, целая

аналитическая функция

о

то из равномерной в D сходи­

р,

12

ВВЕДЕНИЕ

1ГЛ. I

мости его к интегралу (1.1.1) следует, что F (р) является аналитической функцией, регулярной в D, а так как D есть любая внутренняя область полуплоскости R e p > a 0, то функция F (р) регулярна всюду в этой полуплоскости.

Рассмотрим теперь множество Е всех действительных значений р = а параметра р, при которых преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к функции /, и обозначим у нижнюю грань (точную нижнюю границу значений а) этого множества:

у = inf a.

Е

Значение величины у выясняется следующими фактами. 1. Когда у имеет конечное значение, то можно сказать, что преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к / всюду в открытой полуплоскости Rep> - y, при этом К (р) будет регулярной функцией р по меньшей мере в этой полу­ плоскости и не будет применимо к / ни для одного зна­

чения р из полуплоскости Re р < у.

2.Когда у = — со, преобразование Лапласа (1.1.1) применимо к / при всяком значении р и F (р) будет функ­ цией, регулярной на всей комплексной плоскости р.

3.Когда у = + со, преобразование Лапласа (1.1.1) не применимо к f ни при каком значении р.

Число у может быть названо границей показателя схо­

димости, и прямая Rqр —а = у — границей области схо­ димости преобразования Лапласа.

В связи с изложенным обычно уточняют понятие о функции-оригинале. Функция / называется функцией-

оригиналом, если

она

обладает следующими

свойствами:

1)

/ определена

на

оси — о о < / < о о

и интегрируема

с абсолютным значением на каждом конечном отрезке;

2)

при t <

0 функция /

обращается в

нуль;

3)

преобразование

Лапласа применимо к

/ хотя бы

при одном значении р.

 

 

 

 

Верна

 

Каждому

оригиналу f

соответствует

Т е о р е м а

1.

такое число у

(— с о ^ у С о о ) , что преобразование (1.1.1)

применимо к f

для всякого р, где Rер = о > у ;

при этом

F (р)

будет функцией,

регулярной в полуплоскости Re р =

= < т > 7 . Преобразование (1.1.1) не применимо к f ни при каком р, для которого Rе р < у .

§ 1.11 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 13

Функцию F называют функцией-изображением по Лап­ ласу функции /.

Нахождение значения у в некоторых случаях затруд­ нительно. Можно указать простой признак, позволяющий во многих случаях оценить у сверху.

Т е о р е ма 2. Если существуют два числа М (0==s; М < оо)

и а (— о о < а < с о )

такие, что при всяких t ^ O

выпол­

няется неравенство

| / (0

К

M e",

(1.1.3)

то а 5= у.

 

 

 

Пусть

Rep = o > a ,

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

ОО

СО

 

 

 

 

ОО

 

^ | f(t) e-pt \dt=*\) \f(t)\ e~ot dt =

J M e r d t =

< со.

o;

о

 

 

 

 

b

 

Таким

образом,

при

всяком

 

действительном значении

р = о ,

большем а, интеграл (1.1.1) будет абсолютно схо­

дящимся, и так как у есть

нижняя грань таких значе­

ний р,

то должно

быть у «с а ,

 

что и требовалось.

 

Условие (1.1.3) выполняется для широкого класса функ­ ций, в частности, оно выполняется для большинства функций, встречающихся в приложениях; поэтому ориги­ налы f часто определяют несколько иначе, чем указано выше, а именно сохраняют два первых свойства опреде­ ления оригинала, третье же свойство заменяют следую­ щим:

Существуют числа М и а такие, что выполняется

неравенство

| / ( * ) ! < M e",

0=s£*<co.

 

 

 

Обратим еще внимание на изменение изображения F (р)

при удалении

точки р в бесконечность. Достаточной

для

дальнейшего изложения

является

абсо­

Т е о р е м а

3. Если

интеграл (1.1.1) сходится

лютно при значении р = р0 = о0-{- гт0, то F (р) стремится к нулю при удалении точки р в бесконечность по любому

закону, лишь бы р

оставалась в полуплоскости Re р =

= о Ss ог0-

 

 

Пусть

р = а-\-п

и о Ss а0. По

Д о к а з а т е л ь с т в о .

предположению

интеграл

(1.1.1)

для р0 =

п0 + /т 0

абсо­

лютно

сходится,

поэтому

он будет сходиться и для взя­

того

значения

р.

Возьмем положительное число

А,

Смотрите также файлы