Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время в связи с широким развитием полупроводни­ ковой техники и микропленочной электроники третья часть общего курса физики в технических и других вузах, традиционно включаю­ щая оптику и атомную физику, претерпела значительные измене­ ния. В частности, в нее стал включаться, как самостоятельный раз­ дел, раздел физики твердого тела. При этом изложение основ кван­ товой механики и отдельных ее задач, элементов статистической физики и структур кристаллических решеток стало более подроб­ ным и конкретным. Кроме того, возникла необходимость рассмат­ ривать вопросы теории контактных явлений и электронно-дыроч­ ного перехода.

Введение в общий курс физики самостоятельного раздела фи­ зики твердого тела, естественно, потребовало по-новому подойти к изложению основ статистической физики и квантовой механики, теории электропроводности твердых тел. В самом деле, понятие

оклассической статистике Максвелла—Больцмана в применении

кидеальному газу и основы термодинамики вводятся уже в моле­ кулярной физике, т. е. в первой части общего курса. Однако этих знаний уже недостаточно для рассмотрения теории твердых тел вообще и полупроводников в частности.

Точно так же при изложении электричества и магнетизма, т. е. второй части курса физики, приходится в самом элементарном виде знакомить студентов с электропроводностью полупроводников и принципами работы полупроводникового диода и триода, так как во второй части курса предусмотрено выполнение соответствующих лабораторных работ. Однако и этих знаний явно недостаточно, так как известно, что понятие о зонной структуре полупроводников должно базироваться на знании элементов квантовой механики и атомной физики, которые излагаются в третьей части курса.

Кроме того, при изложении физики твердого тела как самостоя­ тельного раздела необходимо, естественно, рассмотреть не только основы теории контактных явлений, но также магнитные свойства твердых тел и гальвано-магнитные явления.

Из указанного выше следует, что при изложении основ физики твердого тела в рамках общего курса физики мы встречаемся с весьма большими трудностями. Точно так же имеются большие труд­ ности и в усвоении этого раздела студентами.

Между тем, вопрос об обеспеченности студентов подходящей учебной литературой по физике твердого тела до сих пор остается

Г Л А В А 1

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

§1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

1.1.1.КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ

ИВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

При теоретическом исследовании теплового излучения абсолютно черного тела 1 Планк в 1900 г. установил, что испускание и погло­ щение излучения происходит отдельными порциями (квантами), причем энергия кванта

Е = hv,

явление фотоэффекта на металлах. При этом было установлено, что скорость вылетающих из металла электронов не зависит от ин­ тенсивности падающего света, а зависит лишь от его частоты. Это никак нельзя было объяснить в рамках волновой электромагнитной теории света. Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн, по аналогии с излучением абсолютно черного тела, предположил, что испуска­ ние и поглощение света также происходит порциями, или квантами, причем энергия кванта света равна

1 В физике под абсолютно черным телом понимается тело, которое по­ глощает полностью падающее на него излучение. Ближе всего к абсолютному черному телу подходит малое отверстие в закрытой полости.

5

массы покоя и обладающая энергией (1.1.1), импульсом (количест­ вом движения)

сг *

где с — скорость света в вакууме.

Итак, было установлено, что свет (излучение) обладает как вол­ новыми, так и корпускулярными свойствами.

Укажем, как согласуются между собой волновая и квантовая теории света. Согласно волновой теории света, интенсивность волны

вданном месте пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны в данном месте пространства. Согласно же квантовой теории света интенсивность света в данном месте пространства пропорцио­ нальна числу фотонов, попадающих в данное место пространства. Согласование теорий: предполагается, что число фотонов, попавших

вданное место пространства, пропорционально квадрату ампли­ туды волны в данном месте пространства, т. е. они связаны прямой пропорциональной зависимостью.

Рассмотрим теперь волновые свойства элементарных частиц.

Впервые гипотезу о волновых свойствах электрона высказал в 1925 г. французский физик де Бройль. Основная мысль де Бройля сводилась к тому, что он распространил квантовую теорию света на движение элементарных частиц. При этом он предположил, что

а¥ 0 — постоянная амплитуда.

Поясним рассуждения де Бройля, которые привели его к выра­ жению (1.1.4). Как мы видели, из квантовой теории света было из­ вестно, что импульс и энергия фотона определяются согласно (1.1.2)

и(1.1.1). По аналогии с квантовой теорией света де Бройль предпо­ ложил, что соотношения (1.1.1) и (1.1.2) справедливы и для волны, сопоставляемой свободному электрону, т. е. частота (о такой волны

иволновое число k определяются формулами:

2я

( 1.1.6)

К

6

Тогда на основании (1.1.5) и (1.1.6) выражение для обычной пло­ ской электромагнитной волны

¥ = Т > 1' (0,/" kr)

преобразуется так:

т. е. получаем плоскую волну (1.1.4), названную позже волной де Бройля. В более простом случае движения свободного электрона вдоль оси Ох соответствующая (1.1.4) волновая функция будет

W (x,t) = Y 0е V 1 • (1.1.4j)

В 1927 г. опытами по дифракции электронов была подтверждена гипотеза де Бройля, а еще позже на опыте были установлены вол­ новые свойства и других элементарных частиц. Поэтому можно сказать, что электрону, движущемуся со скоростью v или с импуль­ сом р, будет соответствовать [см. (1.1.6)] длина волны

Аналогично рассмотренному в начале этого пункта согласова­ нию квантовой и волновой теории света можно привести согласо­ вание корпускулярных и волновых свойств элементарных частиц, в частности электрона. В этом случае необходимо предположить, что число электронов (частиц), попавших в данный элемент объема dV, пропорционально квадрату амплитуды волны де Бройля и ве­ личине элемента объема, т .е . число электронов пропорционально

'FIdV.

Если исходить из статистического толкования последнего вы­ ражения в случае одной частицы, то можно сказать, что вероят­ ность dW нахождения частицы в данном элементе объема dV про­ порциональна квадрату амплитуды волны де Бройля или квадрату модуля волны, т. е.

dW = | ¥ |2 dV = ¥ ¥ *d E .

Из этого равенства следует, что квадрат модуля волны де Бройля (волновой функции) есть плотность вероятности нахождения сво­ бодной частицы в данном месте пространства. Такое толкование волновой функции справедливо не только для свободного, но и для связанного электрона.

Таким образом, волновая функция имеет тот физический смысл, что квадрат ее модуля есть плотность вероятности обнаружить ча­ стицу (электрон) в данном месте пространства, причем сама волно­ вая функция является комплексной величиной.

По поводу волновых свойств электрона необходимо также за­ метить, что с точки зрения квантовой теории движение электронов

7

можно рассматривать как электронные волны, определяемые вол­ новыми функциями ¥ . Хотя сама волновая функция, вообще го­ воря, не имеет особого физического смысла, однако для свободного электрона существует определенная и весьма наглядная связь дви­ жения волны с движением самого электрона.

В самом деле, если рассматривать не строго монохроматическую

« 2я

волну с определенными и и л = — , а почти монохроматическую k

волну или группу волн (пакет)

Aft

VTp— dco \

Ik jo

С другой стороны, для свободного электрона [см. (1.1.5) и (1.1.6)]

mЕк р2 _ М 2 _ hx 2m/ti 2m

Тогда на основании последнего выражения скорость группы волн, или скорость пакета, будет равна

М 2' 2т

где v есть мгновенная скорость свободного электрона.

Таким образом, приходим к выводу, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения электрона (частицы). В этом смысле волновая функция для свободного электрона или волна де Бройля имеет определенный физический смысл. Поэтому с достаточным приближением движение свободного электрона можно рассматривать как движение группы (пакета) волн де Бройля.

1.1.2.ЭЛЕКТРОН В ИЗОЛИРОВАННОМ АТОМЕ

ИПРИНЦИП ПАУЛИ

При изучении поведения электронов в атоме было установлено, что электроны могут двигаться лишь по дозволенным, или стацио­ нарным, орбитам, на которых они обладают вполне определенными энергией и моментом количества движения. Положение этих орбит определяется из того условия, что энергия электрона и его момент количества движения могут принимать лишь значения, кратные определенным постоянным величинам, другими словами, кван­

8

туются. Например, момент количества движения электрона на ор­ бите квантуется согласно выражению

побочным квантовым числом. Аналогично можно было бы привести выражение для квантования энергии электрона с помощью кванто­ вого числа п, называемого главным квантовым числом.

Современная квантовая механика считает, что состояние элек­

спиновый момент количества движения. Если спиновый момент обо­ значить ps, то он квантуется так:

В связи с этим для квантования полного момента электрона вво­ дится квантовое число определяющее квантование полного мо­ мента количества движения электрона на орбите [см. (1.1.8) и (1-1-901:

P = P i + Ps = ( 1± y ) ^ '

Поскольку полный момент р электрона есть вектор, постольку при пространственном квантовании необходимо учитывать проекцию полного момента на определенное направление, например на на­ правление магнитного поля. Поэтому вводится четвертое квантовое число trij, которое учитывает проекцию полного момента и назы­ вается магнитным квантовым числом. Это число принимает зна­ чения

m/ = 2 /+ 1.

9