Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Важным принципом квантовой механики является принцип Паули, согласно которому в атоме не может быть двух электронов с одинаковой четверкой квантовых чисел. Этот принцип позволил объяснить закономерность периодической системы Менделеева и строение электронных оболочек атома. Из принципа Паули следует, что состояния двух электронов должны различаться по крайней мере спином.

Введение четырех квантовых чисел для определения состояния электрона в атоме оправдалось, в частности, на большом опытном материале по спектрам атомов. Следует отметить также, что исто­ рически в спектроскопии принято называть состояние электронов

Обозначение «s-состояние» происходит от названия соответст­ вующей спектральной серии (sharp — резкая), а «d-состояние» от названия диффузионная (diffusional). Поэтому, например, состоя­

3р и 3d. Из этого следует, что с увеличением п возрастает число воз­ можных состояний электрона, причем большему п соответствуют большие значения энергии электронов.

Тот факт, что главное квантовое число принимает лишь целые значения говорит о том, что электрон в атоме может находиться на вполне определенных энергетических уровнях. Исследования по­ казали, что для электрона в изолированном атоме будут сущест­ вовать отдельные или дискретные энергетические уровни. Напри­ мер, в простейшем случае атома водорода энергетические уровни для электрона показаны на рис. 1. Согласно принципу Паули на данном энергетическом уровне не может находиться более двух элек­ тронов, отличающихся только направлением спина. Из рис. 1 видно, что с возрастанием энергии Е расстояние между соседними уровня­ ми сильно уменьшается, т. е. уменьшаются промежутки, соответст­ вующие участкам запрещенных значений энергии. Такой же харак­ тер распределения уровней сохраняется и для более сложных ато­ мов, имеющих несколько электронов в оболочке. В этом случае энергетические уровни, соответствующие валентным электронам, расположены близко друг к другу.

Атом представляет собой многоэлектронную систему. Поэтому квантовые числа, соответствующие квантованию механического орбитального момента и спинового моментов атома как целого, имеют свою специфику. Так, например, механический момент им­ пульса атома в целом слагается из орбитальных моментов всех элек­ тронов атома.

10

Величина результирующего момента атома согласно квантовым законам сложения должна быть такой, что

электронов в спиновый момент Ps всего атома в целом. Спиновое

При сложении PL и P s квантовое число J результирующего момента может принимать одно из следующих значений: J = L j S, L + S — l , . . i , \ L - S |.

Точно так же вводится и магнитное квантовое число для атома в целом при рассмотрении квантования проекции результирующего

1.1.3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Знание волновой функции движущейся элементарной частицы (электрона) позволяет определить все характеристики ее движения: координату, количество движения (импульс) и энергию. Действи­

11

тельно, если, например, для свободного электрона задана волновая функция выражением (1.1.4), причем

то для движения по оси х координата, импульс и энергия опреде­ ляются производными:

Как же определяется волновая функция для элементарной ча­ стицы (электрона)? Волновая функция определяется из решения уравнения Шредингера, представляющего собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Запишем сначала уравнение Шредингера для свободной ча­ стицы (свободного электрона),1 а затем обобщим его на случай на­ личия внешнего поля. С этой целью функцию (1.1.4) разобьем на два множителя:

есть амплитуда волновой функции, зависящая лишь от координат. Рассматривая стационарные процессы, можем в (1.1.12) опустить временной множитель и интересоваться волновой функцией (1.1.13). С учетом (1.1.11) вторые производные по координатам от функ­

ции (1.1.13) будут:

или через оператор Лапласа Д последнее равенство перепишется так:

2т

1 Для свободного электрона волновая функция (1.1.4) известна, т. е. известно фактически решение уравнения Шредингера в этом случае.

12

Дифференциальное уравнение (1.1.15) и является уравнением Шредингера для свободного электрона. Из уравнения (1.1.15) также видно, что если применить оператор Лапласа к волновой

Обобщим теперь уравнение (1.1.15) на случай движения элек­ трона в поле внешних сил, для чего заменим кинетическую энергию Е к через разность между полной Е и потенциальной V энергиями

Уравнение (1.1.17) есть уравнение Шредингера для случая движе­ ния электрона (частицы) во внешнем поле, в котором его потен­ циальная энергия равна V.

Справа в уравнении (1.1.17) стоит полная энергия Е, поэтому оператор

А?

------l k + V = H 2т

является оператором полной энергии.

Уравнение (1.1.17) справедливо для стационарных состояний частицы, так как волновая функция ф не включает временного мно­ жителя. Если перейти к полной волновой функции, содержащей временной множитель

т. е. к нестационарным процессам, то уравнение Шредингера для этого случая запишется так:

При помощи уравнения (1.1.19), например, исследуются переходы электрона из одного стационарного состояния в другое.

Рассмотрим более подробно уравнение Шредингера (1.1.17) для стационарных состояний частицы (электрона).

Уравнения вида (1.1.17) в математике были уже известны, до появления квантовой механики и было выяснено, что они имеют определенные однозначные и конечные решения лишь для дискрет­ ного ряда значения параметра в правой части уравнения. В част­

13