Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf

Обозначим,

как

и

раньше,

вероятность

появления

объекта

типа

f“

в классе

K t

через

л“ ,

/ = 1 , 2 .

Тогда

условные

вероят­

ности правильных и ошибочных заключений о классе объектов при

первой стратегии принятия решения запишутся так:

9

9

P

C

)

( f

f

,

| f

f П,

) )

=г

?

£,

A

M

А (

fМ f

, ( КI f, f I ,

а=-1

а= I

(6.97)

7

7

А м

(К,

| ff,)= £

A M

(ff,|f“ ) г% ,

А "

( f f , | f f , ) =

£

A M

( f f ,

|f£ ) .

а=1

а=І

Р = 1 - т ( К і \ К і ) - Р ^ ( К 2 \ К і ) ,

і = 1,2.

(6.98)

+

С 3, [1 -- АМ (ff, I Л',) — АМ (ff2 1Кт)],

(6.99)

4 ]) = с„ ам ( к » IK i ) + c t t m (к , I Кі)+

+

С 32 [1 - A M ( К і I K 2) - A M ( К ,| /С,)] .

f f j 2) = С „ А М (Кг I Кг) + С „ А » ) (К і I К,) +

+ с з1[1 -A^(ff, |ff,)-A*'(ff2|ff.)].

(

6 . 1 0 0 )

R{22) =С „А М (ff, I ff,) + С„А»> (ff, I ff,) +

+ C „ [ 1 - AM (ff, I ff,) - AM (ff, I ff,)],

где согласно (6.94)

ffW (ffi|ffi)=A *)(ff2|ff,),

A * )(ff,|ff,)= A ‘)(ffi |fft),

p(M(K2|ff2)=P<M (K,|ff2),

P<*>(ffi|ff!)=ff“ )(ffa|ffa).

(6.101)

14*

2И

тегию, а «чистые» стратегии «противника»

есть: а — предъявлять

объекты класса

Кі, б — предъявлять объекты класса Кг-

стратегии

Обозначим

через (£, 1—f),'

смешанные

распознающей

стороны; ранее введенные

величины

(rp 1—г|),

(|°, г)°) либо в чистых, либо в смешанных стратегиях

I» = (4 2>- я{2>)/(/?<'> +

Я<2>-

/?<*> -

Я«2)),

Y = (4 2> — ^2°) /(^і0 +

R22) -

R2 ] -

^12))-

(6Л03)

стратегиях |= |° ,

т] = г|0

есть

Я 5 °

(.

Y

)

0 = +

[ Я- « V{i W(2 l

))+ ë( і

[

^

1 ) £ °

+

Д£2 , (І - g

0)](l~-T)0)= (/?{>) Ң 2)

Л<2>)/(/?<'> +

+

R(22’ — Ri2,1--

4 1’)-

(6.104)

С

точки зрения

стороны,

которая

распознает

объекты,

величины

Ху,

Ху,

/ = 1 ... 4,

должны быть выбраны так,

чтобы

обеспечивался

максимальный средний выигрыш, т.

е. т а х /? (|°,

і)°)

при

ограниче-

V 1

X 4-

ниях, заданных условиями (6,93),

!

і

6.10.

КОРРЕКЦИЯ ИСХОДНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Рассмотрим

задачу

об исправлении

ошибки в исходных

логичен

1.

Среди длинноногих животных безрогие коровы с короткой

шерстью либо обладают большой молочной продуктивностью,

либо

не являются мясными.

ко­

2.

Все

животные немясной породы имеют длинные ноги,

роткую шерсть, и рога.

3. Малая молочная продуктивность наблюдается или у рогатых

коров,

или

у животных с короткой шерстью, или у коротконогих.

4.

Если

животные обладают короткими ногами и не имеют

рогов, то они отличаются большой молочной продуктивностью.

По предварительным сведениям, среди поступивших в продажу

животных

имеются только либо безрогие коровы, либо коровы

Введем обозначения: X — мясная порода, X — немясная

порода,

У — большая

молочная продуктивность, У — малая молочная

про­

дуктивность,

Л —-длинные

ноги,

А — короткие

ноги, В — длинная

густая шерсть,

В — короткая

шерсть,

С — рога

отсутствуют,

С —

рога имеются.

1—4 можно

записать

в виде следующих

булевых

Положения

соотношений:

__

_

_

A-B-C-+X+Y,

А-В • Ü-+-X,

Y-+Ä+B + C,

Ä-C-+Y,

(6.105)

или в эквивалентной записи

A + B + C + X + Y = l ,

А -Ь В 4- С-{-X— I

Ä + B + C + Y = I,

Л + С + У = І.

(6.106)

Предварительные сведения

о поступивших

в продажу животных

записываются как

С + А - В = I.

(6.107)

Для того

чтобы построить сокращенный

базис &х [Л,В,

С,

X, Y],

перемножим

последовательно левые

частисоотношений(6.106)

и

(6.107). Перемножая первые

два

соотношения из (6.106),

находим

Л + В + Х + С -У = I.

(6.108)

Перемножая

последние два

соотношения из

(6.106), получаем

С + У + Л -В = І.

(6.109)

Умножив

(6.107) на (6.109), получим

A - B + C - Y = I,

(6.110)

шению

Е(А,

В, С, X, У )= С -

Y + A - B - X = I.

(6.111)

Таким

образом,

как

показывает

(6.Ш ), сокращенный

в соот­

ветствии с

(6.96), (6.97)

базис by [А,

В, С, X, Y] имеет вид

Л X

1

В

X

0

С 1

X

(6.112)

X

X о

У

1

X

Ф=А'+У, с помощью (6.112)_ найдем Х-»-С+Л-В,

Y-+C+A-B, и,

следовательно, X + Y - уС+А ■В. Откуда получим

Ä - C + B - C - + X - Y .

(6.113)

По-видимому, имеется меньше

оснований

сомневаться в пра­

вильности соотношений

(6.106), заимствованных из учебников по

животноводству,

чем в

справедливости

предварительных сведений

об обстановке на

рынке

(6.107),

хотя,

строго

говоря, ошибочной

исходные зависимости,

чтобы заведомо ложное

соотношение X • У= 0

(или что то же Х +

У = І) было бы одной

из посылок задачи.

X - Y , X- Y,

X- Y, X - Y

(6.114)

и с помощью (6.112) найдем

X -Y -+A -B, X ■Y-+C+A ■В,

X-Y-+C, X ■F -4)

(Х->-У),

или

ности совпадает с соотношением (6.111).

Отбрасывая

безусловно ложное последнее из соотношений

(6.111) и перемножая оставшиеся, получаем

Еі(Л, В, С, X,

Y) = (X+Y+A -В) ■( X + Y + C + A -В) -_(Х+У+С) =

= С- Y+X • Y+A ■В ■Х + С ■Х +А ■В ■Y +А - В - С

или так как

_

_

и произведения

А - Б - X- Y, А - В - Х - С поглощаются

членом

А ■В • X, а С ■X - Y — членом С - У, то

Е і (А, В,

С, X, Y ) = C - Y + A - B - X + X - 7 = I.

(6.116)

С

1 X

X

(6.117)

X X 0 1

У

1 X

0

решение поставленной задачи (6.113) не только сохраняет свой

вид,

но и является допустимым.

(6.113) только

пере­

Следует иметь в виду, что соотношение

числяет первые импликанты функции X ■У, дополняющие до I базис

бх (Д, В, С), и, конечно, далеко не всегда

все члены подобного

X + Y + B - C = I.

(6.118)

А X

1

X

5 X 0 1

С 1

X

0

(6.120)

Пользуясь (6.120), находим

А - В ^ С - ^ Х + У ,

Ä-B-C-+Y,

А - В -

С->Х

А- В- С-+Х ■У,

( 6.121)

А - В -

С-ѵУ,

А ■В - С^-Х • У,

А-В- С-ѵУ,

А - В - С->-0.

Д + 5 + С +Х +У = 1,

Ä + B + C+X = I,

Л + Л + С + У = I,

Д + В + С + У = І,

А+Б+С-УУ = I,

Ä + B + C+X ■ ¥ = I,

А + В + С + Х - У =

І,

Д +В + С= І.

(6.122)

ний

(6.122), равное

{А-УВ-УС-У У) • (А-УВ-УС-УУ) =А-УС-УУ=1,

в точности совпадают

с

четырьмя исходными посылками

задачи

(6.95),

заимствованными

из учебников по животноводству.

Шестое

и седьмое соотношения

(6.122) вместе утверждают

В ■С-+Х ■У,

(6.123)