Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf

Тогда вероятность ошибки первого рода, то есть ве­ роятность ложной тревоги, равна

чину среднего риска. Для этого необходимо так выбрать RSi и R чтобы интеграл 'принял наибольшее отрица­

тельное значение. Это достигается тогда, когда подын­

кой области, где подынтегральное выражение отрица­ тельно, т. е.

С2Р (ІІ)/2(ХЬ ..., XN) - C i P ( l ) h ( X b ...,XN)<0. (2.48)

Решающее правило, обеспечивающее в среднем наимень­ ший риск, состоит в следующем. Распознаваемый объ­ ект со, признаки которого, как установлено в результате

39

относятся к классу Qi, если

в противном случае — к классу Пг-

2.4. МИНИМАКСНЫЙ КРИТЕРИЙ

При построении систем распознавания возможны такие ситуации, когда априорные вероятности появления объектов соответствующих классов неизвестны. Миними­ зировать средний риск принятия решений на основе бай­ есовой стратегии в этом случае нельзя. Применительно к этой ситуации рационально использовать такой крите­

рий, который обеспечивает минимум максимального среднего риска. Этот крите­ рий получил название мини­ максного критерия.

Суть минимакса состоит в том, что решение о принад­ лежности неизвестного объ­ екта к соответствующему Классу принимается на осно­ ве байесовой стратегии, со­ ответствующей такому зна­ чению Р(І), при котором средний риск максимален.

Покажем преимущество минимаксной стратегии по сравнению с другими возможными стратегиями, когда

неизвестны значения Я(Й,), i — I, ..., m. При наличии

двух классов величина среднего риска, как известно, равна

большего значения при Р ( I) = Р '( І ) . Этот риск представ­

ляет собой максимальную величину минимального байесового риска. Обозначим его через С™*. Применение

40

В заключение отметим, что минимаксная стратегия есть байесова стратегия для наихудших значений апри­ орных вероятностей, дающая хотя и осторожную, но га­ рантированную величину среднего риска.

2.5.КРИТЕРИЙ НЕЙМАНА — ПИРСОНА

Внекоторых системах распознавания могут быть не­ известны не только априорные вероятности появления объектов соответствующих классов, но и цены ошибок.

Вподобных системах це­ лесообразно воспользо­ ваться критерием Нейма­ на — Пирсона. Суть это­ го критерия состоит в

следующем. Определяет­ ся допустимое значение вероятности ошибки пер­ вого рода Qi (ложная тре­ вога), а затем находятся такие решения, при кото­ рых вероятность ошибки

симизируется вероятность обнаружения цели при задан­ ной вероятности ложной тревоги. Итак, пусть из какихлибо соображений принято, что Q ^ H .

Требуется определить решение Х0 задачи

X

minQ2=m in Г f2(X)dX

X X J

ФО

при ограничении вида

со

Qі = f f i ( X ) d X ^ A .

X

Очевидно, что решение Х0 удовлетворяет уравнению

00

J h ( X) dX=A,

Хо

так как при выборе

42

любого другого значения Х'о>Ха ошибка Q2 растет. Выбрать же Х'0-<Х0 нельзя по условию задачи.

В заключение рассмотрим геометрическую интерпре­ тацию названных критериев. Для этого в координатах £>2= 1 —Qnp и <2лт изобразим так называемую рабочую

характеристику (рис. 2.4). При построении рабочей ха­

к рабочей характеристике при Я = Я0Поэтому для крите­ рия Байеса на рабочей характеристике найдем такую

Теперь ордината этой точки определяет вероятность правильного решения, а абсцисса — вероятность ложной тревоги. Для минимаксного критерия необходимо учесть, что производная от среднего риска по априорной веро­ ятности в точке максимума равна нулю.

43