Файл: Горелик, А. Л. Некоторые вопросы построения систем распознавания.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 1
Проведем на графике эту прямую (AB). Координаты
точки пересечения этой прямой с рабочей характеристи кой определяют QnT и Ь2=И— Qщ, для минимаксного
критерия. Тангенс угла наклона касательной в этой точ ке равен ко-
Взаключение следует отметить, что -применение ме тодов теории статистических решений ограничивается не обходимостью знания законов распределений, а также затратами значительных объемов памяти и времени при их машинной реализации.
2.6.ПРИМЕР
Вкачестве иллюстрации рассмотрим пример технической «диаг
ностики» редукторов. Будем полагать, что изменение интенсивности звука работающего редуктора во времени представляет собой слу чайный стационарный эргодический процесс и нормированная кор реляционная функция этого процесса может быть аппроксимирована
уравнением вида р (т) = е — cos ßt.
Рассмотрим три |
типа редукторов А, В и С. Будем различать |
|||
у каждого |
из типов |
редукторов два состояния: первое — редуктор |
||
исправен, |
второе — редуктор неисправен. У редукторов типа |
А |
при |
|
знаком, характеризующим их состояние, является параметр |
а, |
у ре |
||
дукторов типа В — параметр ß. Состояние редукторов типа С опре деляется значениями двух параметров а и р . Пусть у редукторов всех типов параметры а; ß; а и ß соответственно подчинены нор мальным законам ‘распределения. При этом у редукторов типа А первое состояние характеризуется следующими значениями матема тического ожидания и среднеквадратического отклонения:
|
|
та, = ° .°7 П/с], |
|
<*а, = |
0,01 |
[1/с], |
|
|
||||
второе состояние — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
" Ч |
= 0 ,1 2 [1/с], |
|
Ч |
= |
0,015 [1/с]. |
|
|
|||
Аналогично у редукторов типа В |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= 0 ,П |
[1/с], |
з?і |
= 0 ,0 3 |
[1/с], |
|
|
|||
|
|
|
= 0 ,2 5 |
[1/с], |
стРа |
= |
0,04 [1/с]. |
|
|
|||
И |
наконец, |
, у редукторов типа С значения математических ожиданий |
||||||||||
и среднеквадратических |
отклонений |
для первого и второго состояний |
||||||||||
совпадают с названными значениями |
тaj |
, |
, wz^ |
, |
, oai , oaj) |
|||||||
°ßi |
’ ®ß2 соответственно. |
На |
рис. 2.5 |
представлены |
законы распреде |
|||||||
лений f\A) (а), |
(а), |
а на рис. |
2.6f(fl)(ß) |
и f^B>(ß). |
|
|||||||
Определим на основе стратегии Байеса критическое значение па раметра а для редукторов типа А, полагая, что априорная вероят ность первого состояния Р (І)=0,6, второго Р (П )=0,4 и стоимость ошибки первого -рода (принять исправное состояние редуктора за
44
-неисправное) в пять раз меньше стоимости ошибки второго рода (принять неисправное состояние, редуктора за исправное), т. е. Сг= = 5Cj.
Критическое значение коэффициента правдоподобия равно
Ц А) = р (I) Ci/P (II) Сг = 0 ,6 С І/0,4-5С1= |
0,3. |
|||
Так как f^A) (а)/^л) (а) = |
, то |
|
|
|
- (“- « а , )2/2“аа . р- |
|
)*/2в,2‘ = ^ Л) |
|
|
Откуда |
|
|
«1 |
|
2da |
2 d |
+ <х |
+ |
|
|
4 / |
|
||
а 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2d |
2 d |
In ІѴ„ |
|
Подставляя значения та и о0, подучаем
0,625- Ю -Ѵ — 0,06IO“ 4« + 6,8- ІО-8 = 0.
Откуда а0 = 0,083 [1/с] и, значит, если <х«^а0, то редуктор типа А исправен, при а За а0 — неисправен.
45
Рассчитаем ошибки первого и второго |
рода: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
со |
1 |
f a —0,07 |
|
|||
|
^ |
) = 0,01 VT* |
I |
e |
|
f i ,01 |
da — |
|||||
|
|
|
|
|
0,083 |
|
|
|
|
|
||
|
|
’•3 |
|
_L i. |
dt = 0,0968 =5= 0,1, |
|||||||
|
|
V 2n |
e |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,083 |
|
1 |
/а —0,1,I2Vy |
|
|
|
|
|
|
|
==- |
\ |
e '2 ' ^ |
0,015 ) |
da = |
|||
|
<зіЛ) = - 0,015К2я |
|
-oo |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
—2,5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
У27 |
|
I |
e ~ 2 t%d t ^ |
0,01. |
|
|||||
Аналогичные |
расчеты |
|
для |
редукторов типа В дают следующие |
||||||||
значения: ß„ = 0,17 [I/с], |
|
|
=£0,02, |
Q ^ = s0 ,0 2 . Определим теперь |
||||||||
граничные значения а0 и ß0 |
на |
основе |
критерия Неймана—Пирсона, |
|||||||||
полагая, что ошибка первого рода не должна превышать 5% |
||||||||||||
oo |
|
|
|
|
|
|
оо |
1 |
|
/а—0,07 \ 2 |
||
j |
, Г |
М * „ |
|
|
|
|
j |
Г |
Г |
|
ä . « 0,05. |
|
Отсюда «о = |
0,086 [1/с]. Ошибка |
второго |
|
рода при этом равна |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0,086 |
|
1 |
/ а —-0,12\3 |
|||
q[A) • |
0,015 |
= - |
|
/ 2 п |
|
|
|
-2,25 |
Ѵ2к
\ е ~2
-- <31
2., J dt =s= 0,012.
Аналогично для редукторов типа |
В ß0 = 0,16 [1/с] и |
= 0,012. |
||||||
Рассчитаем |
теперь граничные значения а 0 |
и ß0 на |
основе |
мини |
||||
максного критерия_ (в предположении, что Р(І) |
и Р(ІІ) |
неизвестны). |
||||||
Учитывая, что |
C= P(I)C 1Q1 + P(II)C 2Q2= P (I)C 1Q1+{1—P(I)]C2Q2, |
|||||||
дифференцируя |
по |
Р(І) |
и приравнивая производную |
dC/dP(І)= 0, |
||||
получаем |
|
|
CiQi= C2Q2. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Для редукторов типа А |
|
|
|
|
|
|
||
оо |
1 |
/ а—о,07 \ a |
|
5 |
1 |
/ а —0,12 |
у |
|
a |
2 |
[ 0,01 |
j . |
- |
2 |
\ 0,015 |
, |
|
0,01 V2n |
|
|
da = |
0,015 Ѵ2п |
е |
ѵ |
' da |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—00
46
или
(0,07—ао)/0,О1 |
|
(сс0—0,12)/0,015 |
|
||
1 |
e - ^ d t |
5 |
-»»dt. |
|
|
ѴЪь |
V 2л |
|
|||
|
|
|
|
||
Откуда а0 = |
0,085 [1/с], |
а ошибки |
первого и второго рода |
равны: |
|
<35Л) — 0,05; |
<32Л^ = 0,01. |
Аналогичные расчеты |
для редукторов ти |
||
па В приводят к следующим результатам: ß0 = |
0,158 [1/с], |
Q\B^= |
|||
= 0,05; = 0,01. И, наконец, состояния редукторов типа С опре
деляются следующими двумерными априорными законами распределе ний:
і \ С) (*. |
Р) = 2яа |
ехР' |
2~ |
а — т„ |
+ |
|
|
|
|||||
|
«1 |
|
|
|
у |
/ Р — 0, 11 |
|
1 |
1 |
Г / а |
— 0,07 |
||
|
6-10'‘‘if ехр |
2~ |
[( |
0,01 |
у |
^0,03 |
*>'- |
ß)=“ ------1,2--10~3!--------------гс ехр ~2 |
|
|
0,04 )І |
||
С учетом принятых ранее априорных вероятностей состояний и риска ошибок уравнение областей в пространстве (а, ß) первого и второго состояний определяется следующим уравнением эллипса: (а—
—0,03) 2/0,081 + (ß + 0,07) 2/0,09 = 1.
47
На рис. 2.7 представлены области r \c ^ и R2C^, соответствующие пер
вому и второму состояниям редукторов типа |
С. При |
этом, если |
(а, (О еЯ , (С), то редуктор исправен, если (“ , |
Р)6Е:Яг (С ), |
т ° неиспра |
вен. Ошибки первого и второго рода равны |
|
|
2(іС) — Я /{С)(ос, P)rfadß^0,037,
4 С)
Q(2c >= jJJ f p (а, Р) * 4 = 0 ,0 1 2 .
щ
Мы рассмотрели вопросы классификации редукторов типа С при отсутствии корреляции между признаками а и ß. При наличии корре ляции между величинами а и ß, характеризуемой коэффициентом
е ' [ с ] ф [ ?/ с-7
корреляции г, законы распределений /і<с>(а, ß) и U(c>(a, ß) приобретут следующий вид:
fV ( “ . ß ) ; |
|
- exp • |
2 ( 1 — г2) |
(а — i n )h' |
|
2* W h Vl |
|
|
|
|
|
2г(а~ ааъ) (Р— eß.) |
(р- |
|
|
|
|
________Я______ |
я — |
f5* |
J |
£ = 1,2. |
|
ah |
aQ |
||||
?h |
|
|
|||
Корреляционная |
зависимость между признаками а и ß приводит к |
||||
изменению границ областей R\c ^ и R ^ \ |
На |
рис. 2..8 — 2.10 представ |
|||
лены области первого и второго состояний редукторов типа С при различных значениях коэффициента корреляции: г—0,1; 0,2 и 0,3.
48