Файл: Бызова, Н. Л. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
(поперечная), то можно заметить, что факел (или струя) расширя ется, а его ось непрерывно меняет свое положение (рис. 1.1). В этом конкретном случае, кроме беспорядочных пульсаций, име ется постоянная скорость потока U, которая создает снос примеси от источника по направлению ветра. Координата х в этом случае эквивалентна времени и связана с ним сотношением
х=Ш. |
|
(1.3) |
Все частицы, прошедшие через |
источник (вершину |
трубы), че |
рез время t будут находиться на |
расстоянии х от его |
плоскости, |
если пренебречь пульсациош-юй составляющей продольной компо
ненты скорости. В |
качестве модели |
факела |
_мождо__п.р11няхь,_нто |
|
у вершины |
трубы |
в. каждое_ мгновение, оо^разуется дымовой клуб |
||
или обдако |
конечных размеров,- которое сразх.же,£нод^г^_в^тром, |
|||
а на его месте образуется^новое. |
Видимое |
положение_ факела |
||
в каждый момент, очевидно^_пр£^т^вл^т^ю^бо^й__р_яд таких клубов, выпушённых гГоТл^довТтельно один за другим. Если же измерять поперечное распределение концентрации дыма в факеле на какомто расстоянии от трубы в течение длительного времени, то все мгновенц.ы.е_факелы, налагаясь один на другой, образуют некоторый ср&дний _фа.кел, который определяет область, загрязненную выбросом трубы.
Если диаметр трубы мал и его можно считать точкой с коорди натами (0, г/о), то средний факел образуется в течение длительного времени всеми частицами, прошедшими через источник и оказав шимися благодаря этому «мечеными», так как каждая из них по лучила порцию примеси. Рассмотрим дисперсию координат всех
таких частиц относительно |
у0: |
|
°\(0 = |
<\уУ)-Уо]*>, |
(1-4) |
где угольные скобки означают^^_едне_ние по статистическому ансамблю, время t отсчитывается для каждой частицы от момента ее'прохождения через точку (0, у0), а в случае наличия средней скорости сноса U оно связано с координатой равенством (1.3).
Выражение (1.4) представляет собой одномерное пятно и ха рактеризует размер загрязненной зоны. С течением времени пятно растет в результате действия турбулентных пульсаций.
Воспользовавшись тем, что координата жидкой частицы есть интеграл от ее скорости
у(*) = y0 |
+ j |
v (у0 , t) |
dt, |
(1.5) |
|
о |
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
о 2 ( * ) = < | г > ( у 0 , |
t')dt' |
]'г,(у0 ) |
t")dt">. |
(1.6) |
13
После перестановки операций интегрирования и осреднения легко получить соотношение
11
o^^BUf, t") dt' dt", (1.7)
о 0
связывающее дисперсию смещений частиц с одноточечной корре ляционной функцией скоростей в переменных Лагранжа
BL {?, t") = |
<v |
(yQ, t') v (yQ, t") > , |
(1.8) |
|
где /' и t" — два момента |
времени. В случае однородной и стацио |
|||
нарной тур-булентности |
|
|
|
~" |
BL{t', |
n |
= 5 i ( x ), |
(1.9) |
|
где \ t"—t'\ =х, и выражение |
(1.7) можно привести |
к виду |
||
|
t |
|
|
|
o\{t) = |
2^{t — z)BL(t)dr. |
(1.10) |
||
|
о |
|
|
|
Выражение (1.10) обычно называют формулой Тэйлора, по имени автора, впервые его получившего (1921). Более строгий его вывод можно найти в упомянутых монографиях.
Рассмотрим два предельных соотношения, которые оно дает возможность получить. При t-> 0 корреляционная функция (1.9) приближается к < у 2 > и
o\(t)-+ < < у 2 > Р. |
(1.11) |
Введем теперь нормированную корреляционную функцию скоро стей
<Р2>
Величина
^ = ] 7 ? ^ ) с Ь |
(1-13) |
о
называется лагранжевым интегральным временным масштабом (считаем, что этот интеграл существует). Предположив еще, что
СО
о
также конечен, легко получить при t -> со
o](t)^2<^y^Lt |
= 2Kt, |
V |
(1.14) |
14
где |
|
|
K = |
<v*>xL |
(1.15) |
называется коэффициентом |
диффузии. |
|
1.1.2. Относительная |
диффузия |
|
Размеры облака, образованного мгновенным выбросом при меси из некоторого источника конечной протяженности, опреде ляются дисперсией координат меченых частиц жидкости относи тельно его мгновенного центра тяжести, который в течение про цесса диффузии меняет свое положение. В частности, на схеме (рис. 1.1) это создает изгибы мгновенной оси факела. Отметим, что рассеяние облака, даже если оно состоит только из двух ча стиц, принципиально отличается от рассеяния частиц, последова тельно проходящих через одну и ту же точку, поскольку, как бы ни были близки две частицы в начальный момент, под влиянием
случайных |
блужданий |
через |
какое-то |
время |
они |
обязательно |
разойдутся, |
будут двигаться |
независимо |
одна от другой и в преде |
|||
ле не эквивалентны одной частице. |
|
|
|
|||
Пусть облако состоит из N частиц, которые |
в момент t= 0 име |
|||||
ют координаты у'{0), |
а в момент t — координаты у' (i) |
(i—номер |
||||
частицы). Тогда текущее положение центра тяжести облака со ставляет
|
|
|
|
|
1 |
N |
(i . i6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а начальное, которое |
обозначим |
через г/о, определяется равенством |
|||||
(1.16) при |
1=0. |
|
|
|
|
|
|
В |
ряде |
работ |
(Брайер, |
1950; В. Н. Иванов, Р. Л. Стратонович |
|||
1963) |
показано, |
что дисперсию |
координат частиц облака относи-, |
||||
тельно мгновенного центра |
тяжести |
|
|||||
|
*?(*) = |
< - ^ 2 Ш |
- |
Уо (*)]*> = < [У (0 ~ Уо (*)\* > |
(1 • 17) |
||
при большом N можно заменить структурной функцией координат пары частиц, т. е. средним квадратом попарных расстояний между частицами, составляющими облако,
= <[У (0 - |
yj d) 1 > = < • |
* _ l 2 № - y W > . |
(1.18) |
|
Из определений |
(1.16) — (1.18), |
применяя осреднение по |
ансамб |
|
лю, при большом N можно получить соотношение |
|
|
||
|
|
i4t) |
Л |
(1.19) |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
Если турбулентное течение со средней скоростью сноса стацио нарно, то осреднение по полному ансамблю событий соответствует осреднению по достаточно большому периоду времени. Впервые представление о дымовом факеле как о серии последовательных во времени и расширяющихся двумерных клубов (дисков) было ис пользовано Гиффордом (1959) и, как показал ряд последующих работ, оказалось весьма плодотворным.
Рассмотрим теперь пару частиц, начальные координаты кото
рых обозначим через у£ и у^, а текущие — соответственно у'(О |
|
и yj(t). Эти последние связаны со скоростями |
частиц выражения |
ми, аналогичными (1.5); подставив их в (1.18), |
получим * |
/*(/)=< |
Щ > + ( |
' о ; f п |
dt' dt", |
(i .20) |
|
о о |
|
|
|
где / 0 = ylQ — j / j — |
начальное |
расстояние |
между |
частицами пары. |
Первый член правой части представляет собой средний квадрат этих расстояний. (В дальнейшем будем обозначать его без знака
осреднения.) Он определяется |
начальным |
размером |
диффунди |
|||||
рующего |
облака. Второй |
член |
выражается |
через |
структурную |
|||
функцию скоростей пары частиц в переменных |
Лагранжа |
|||||||
|
D[J |
(Z0; t\ t") = <bv |
(?)foi{t") |
> , |
(1.21) |
|||
где |
|
bv{t) = v{y^t)-viy{, |
t). |
|
|
(1.22) |
||
|
|
|
|
|||||
Зная |
структурную функцию |
скоростей |
пары частиц, можно |
|||||
определить двухточечную корреляционную функцию скоростей |
||||||||
|
£</(/„; |
Г, 0 = |
0 ( У $ . |
t')v(yJ, |
t")>, |
(1.23) |
||
воспользовавшись |
соотношением |
|
|
|
|
|||
£>[/ (/„; Г, |
t") = 2 BL |
(*', |
t") - 2 ВЦ (/„; |
t' t"), |
(1.24) |
|||
где BL(t', |
t")=BL |
(x) совпадает с (1.9). |
скоростей В'[ {10;¥, t"), |
|||||
Двухточечная |
корреляционная |
функция |
||||||
в отличие от одноточечной |
B L ( T ) , |
не может |
быть |
представлена |
||||
как функция только разности между моментами времени t" и ?\ действительно, как бы ни были частицы близки в начальный мо мент, Tipnt ->-со они разойдутся, и их скорости при f—i' могут ока
заться совсем |
не коррелированными между собой. Отсюда |
следует, |
||
что с ростом f |
и в е л и ч и н а |
Bl[ (/0; |
t', t") 0, а |
|
|
D4(L0;t\t") |
+ |
2BL(t). |
(1.25) |
* Член с произведением координат и скоростей пропадает при осреднении, если этю. осреднение проводится по полному ансамблю событий или по време
ни Т пщТ-у |
со |
Поэтому в пределе при i -э- оо |
|
|
la{t)-~4<v'>iL |
t. |
(1.26) |
Из (1.19), (1.20) и (1.10) легко получить для дисперсии коор |
||
динат мгновенных центров клубов |
|
|
11 |
t")dt'dt". |
|
о§(*) = j j £ ' / ( / „ ; |
(1.27) |
|
00 |
|
|
Некоторые конкретные |
выражения |
|
для корреляционных и структурных |
функций |
скоростей и координат |
Для инерционного интервала турбулентности (диапазона уни версального равновесия) корреляционная функция скоростей одной частицы, как известно, имеет вид (Монин, Яглом, 1967)
|
BL(x)=<v*>((l-—\ |
|
|
(1.28) |
|
где |
|
<v*> |
|
|
|
|
|
|
|
(1.29) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 — диссипация |
турбулентной |
энергии, |
С\ — константа, |
т<=Сто- |
|
(3 трехмерном |
потоке |
v может иметь разные индексы 1, 2, 3 или |
|||
х, у, z в соответствии |
с рассматриваемой |
компонентой; |
эти же |
||
индексы тогда |
следует |
приписать |
величинами и^л-). В этом слу- |
||
.чае при малых t |
|
|
|
|
|
|
a*(t) = |
<V*>t*(l~-^-). |
|
(1.30) |
|
Характер зависимости относительной диффузии от времени для инерционного интервала был получен с помощью метода размерно стей Бэтчелором (1950) и Обуховым (1941 а и б). При малых t он имеет вид
/a(0 |
= /0J + |
C(e/ 0 pf*, |
(1.31) |
а при l2(t) > /5, когда |
частицы |
«забывают» о начальном |
разде |
лении, |
|
|
|
|
/»(*) = |
Са е*3 , |
(1.32) |
В промежуточном случае функция l2(i) определялась Ивановым и Стратоновичем (1963) путем численного интегрирования полу ченной ими в неявном виде структурной функции скоростей двух частиц Dl/(l0; t', t").
Как известно, дисперсия координат одной частицы о\ при пра вильном выборе масштаба xL мало чуветв№гел-ьна,к~точномурвид-у-
Ч—1294. |
' |
У З Л И С Т ! . - Л 7 |