Файл: Белостоцкий, Б. Р. Тепловой режим твердотельных оптических квантовых генераторов.pdf

ближенного расчета влияния неравномерности тепловы­

боковой поверхности температура не зависит от харак­

ния источников тепловыделения рассмотрим нагрев рубиновых стержней. В приближении квазистационарного тепловыделения распределение температуры по сече­ нию стержня с учетом распределения мощности тепло­ выделения имеет вид:

(3-90)

74

ностью распределения накачки (см. гл. 1).

На рис. 3-19 сплошными линиями изображены темпе­ ратурные поля, рассчитанные по формуле (3-90), штри­ ховыми дано параболическое приближение, штрих-пунк­ тирными— распределение температуры, соответствую­ щее усредненной по объему -мощности тепловыделения

пределения источников тепловыделения наиболее замет­ но при больших значениях числа Био в центральной об­ ласти стержня. При реальных перепадах мощности теп­ ловыделения максимальная величина ATnca/{Tnoo(qR) — —Гс] не превышает 20—30%■ Уменьшение Ві и увеличе­ ние /п приводят к существенному снижению влияния не­ однородности распределения q(ri) на температурные поля.

75

Глава четвертая

ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Применение классических методов решения диф­ ференциальных уравнений, формулирующих задачи о температурном поле в активных элементах ОКГ, огра­ ничено кругом вопросов, когда активные тела выполне­ ны в форме кругового цилиндра и пластины. Однако по­ иски путей повышения эффективности систем на базе ОКГ. приводят к исследованию элементов с формой, отличной от указанных, например с поперечным сечени­ ем в виде кольца, прямоугольника, шестигранника, или конструкций, в которых эффективность охлаждения рез­ ко меняется по поверхности образца (контактное охлаж­ дение) . Очевидно, что методы получения точных реше­ ний становятся весьма сложными fr позволяют анализи­ ровать особенности теплового режима при значительных затратах вычислительных средств. Если при этом учесть, что исходные данные, такие как функция тепловыделе­ ния, теплофизическис характеристики активных мате­ риалов, коэффициент теплообмена, определены прибли­ женно, то широкое применение точных решений иногда становится неоправданным. В этом случае их следует рассматривать как эталонные для оценки точности пред­ лагаемых приближенных решений {Л. 4-1].

Ниже излагается приближенный метод решения урав­ нения теплопроводности, позволяющий рассмотреть тем­ пературный режим активных элементов ОКГ произволь­ ной конфигурации.

с охлаждающей средой с эффективностью, определяемой коэффициентами теплообмена а;,. Внутри тела действу­ ют источники тепла с мощностью q (Xi, х2, х3, Fo). Тогда задача о температурном поле в активном теле произ­ вольной формы в период импульса накачки формулиру-

76

ется с помощью следующей системы уравнений:

Как правило, величина Тт является исходной при анали­ зе теплового режима активного элемента ОКГ. Введение ее в качестве масштаба при определении -относительной температуры ограничивает пределы изменения темпера­ туры числовым интервалом [0; 1]. Это упрощает вычис­ лительные операции и позволяет строить наглядные за­ висимости. Ki = qL2/X(Tm—Tc) — число Кнрпичева, без­ размерный комплекс, представляющий в расчетах действие -внутренних источников тепла; L — характер­ ный размер активного тела, используя приближенные

значение параметра вычисляется на границе активное тело — охлаждающая среда). Решение системы (4-1) — (4-3) в общем случае связано с определенными трудно­ стями. Тем не менее достаточно просто молено получить ее приближенное решение, используя вариационные ме­ тоды. Впервые приближенныеметоды исследования теплового режима активных элементов были предложены и рассмотрены Л. И. Кудряшевым.

Следуя идеям метода Л. С. Лейбензона [Л. 4-2], про­ интегрируем по объему уравнение' (4-1). Применяя за-

77

на вычислением градиентов температурных полей. Ука­

Выражение (4-5) назовем обобщенным интеграль­ ным соотношением теплопроводности, так как оно запи­ сано для тела с внутренними источниками тепла. С по­ мощью соотношения (4-5) удается приближенно полу­ чить интеграл уравнения (4-1) в конечной форме. Для этого прежде всего следует задать вид решения. Вид приближенного решения может определяться различны­ ми способами. Прежде всего его можно найти путем сравнения точного решения задачи, если таковое имеет­ ся, с приближенным. Указанный прием наиболее распро­ странен [Л. 4-4]. Кроме того, приближенное решение можно отыскивать по результатам аппроксимации соот­ ветствующих экспериментальных данных (см., например, [Л. 4-5]). Наконец, можно прибегнуть к общему теоре­ тическому анализу явления. При этом исходят из основ­ ных законов теплопроводности и на основе грубой схе­ матизации явления получают вид приближенного реше­ ния [Л. 4-4]. Такой прием будет использован ниже при

определении температурного поля в активных элементах

окг.

Температурное поле будем искать в форме

78

где D (Xi, x2, x3) —полином вида

D(x3, x2, x3) — —{—-ß2^1 —

Коэффициенты этого полинома находятся из условия (4-3). Подставляя (4-6) в (4-4), приходим к дифферен­ циальному уравнению относительно C(Fo)

Постоянную интегрирования Со находим из условия минимума функционала, составленного по среднеквад­ ратичным отклонениям искомой функции от величины Ѳ0(хі, х2, Хз) для момента времени Fo = 0

xit X , ) — CaD (je,, xv О 1 Ж = 0. (4-11)

79