Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

LECTURE NOTES IN MATHEMATICS

A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold (Heidelberg) and B. Eckmann (Zürich) Series: Tata Institute of Fundamental Research, Bombay

Adviser: M. S. Narasimhan 175

Marcel Brelot

Université de Paris, Paris/France

ON TOPOLOGIES AND BOUNDARIES

IN POTENTIAL THEORY

(Enlarged edition of a course of lectures delivered in 1966)

Гос ѵуСіІ’-<“ :і.'Г:

лаучни-то' Пибяиотм-

ЭКЗЕіѵѴ-- '

SPRINGER-VERLAG

ПERLIN • HEIDELBERG • NEW YORK 1971

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория потенциала вызвала к жизни многие ис­ следования в таких областях, как теория емкостей, теория распределений (обобщенных функций), тео­ рии крайних элементов, пространств Дирихле, ядер Ханта и полугрупп, теория вероятностей и т. д. Ее богатая математическая структура привела также к введению ряда новых топологий и границ. Мы будем изучать здесь те из этих новых понятий, которые позволят нам сформулировать общие результаты о по­ ведении потенциалов. Своим успехом эти понятия обязаны тому обстоятельству, что они тесно связаны

сприродой изучаемых классов функций.

Вклассической теории потенциала были введены понятия разреженности в евклидовом пространстве (Брело [4, 5]) и соответствующей «тонкой» топологии (Картан [2]), в которой потенциалы являются непре­ рывными функциями. Кроме того, в классической теории были введены некоторые границы, и прежде

всего граница Мартина (см. книгу Константинеску и Корня [1]), а также понятие разреженности на этой границе (Наим [1]), с помощью которого Дуб [3,4] получил окончательное обобщение знаменитой тео­ ремы Фату о радиальных и некасательных пределах. Оказалось, что все эти понятия молено распростра­ нить на случай аксиоматических теорий потенциала, включающих в себя теорию дифференциальных урав­ нений с частными производными второго порядка эллиптического типа и до-некоторой степени теорию уравнений параболического типа. Были также най­ дены соответствующие вероятностные интерпретации и связи с марковскими процессами.

П редисловие

Важность топологических методов в теории потен­ циала служит оправданием для их дальнейшего изу­ чения и развития. Настоящая книга представляет собой введение в эту обширную область исследова­ ний. Прекрасное сводное изложение классической тео­ рии потенциала на римановых поверхностях с особен­ ным упором на вопросы граничного поведения имеется в монографии Константинеску и Корня [1]. Здесь я от­ правляюсь от общих абстрактных аксиоматических по­ нятий, а затем излагаю некоторые важные приложе­ ния к теории потенциала и теории функций, в основ­ ном для классического случая (т. е. для случая ^-пространств или пространств Грңна, включающего в себя случай римановых поверхностей). Доказатель­ ства, как правило, выбирались с учетом возможных обобщений на случай аксиоматических теорий гармо­ нических функций, но сами эти обобщения лишь бегло упомянуты. Вероятностные интерпретации опущены (по

иГетура [1]).

Впервой части книги мы изучаем понятия (вну­

тренней) разреженности и тонкой топологии, соответ­ ствующей данному пространству и некоторому конусу положительных функций. Даются примеры примене­ ния этих понятий, в частности с их помощью уточ­ няется ряд результатов классической теории выме­ тания.

Вторая часть посвящена границам. Сначала опре­ деляется абстрактная «минимальная граница» (состоя­ щая из «крайних» элементов определенного множества функций) и вводится понятие минимальной разрежен­ ности. Затем в рамках классической или аксиомати­ ческой теории потенциала вводятся знаменитая гра­ ница Мартина и ее «минимальная» часть. При этом минимальная разреженность является ключевым по­ нятием для описания граничного поведения. Инте­ ресно, что в большинстве приложений топологию, отвечающую этой разреженности, можно рассматри­ вать как внутреннюю тонкую топологию (из первой части) на пространстве, дополненном минимальной

странстве соответствующего нового класса функций. В конце книги приведена подробная библиография, имеющая целью облегчить дальнейшее изучение пред­

мета.

Нумерация определений, лемм, предложений и тео­ рем сплошная в каждой главе. Иногда для краткости мы обозначали одним и тем лее символом точку и со­ ответствующее ей одноточечное множество.

Я вырзлеаю благодарность С. Рамасвами за боль­