Файл: Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении.pdf

Умножим обе части уравнения (3.4.9) на f, ^/ = 0, 1, . . . .

скалярно. Так как (h, | / ) = 0 при 1 Ф /, то

Обозначим математическое ожидание случайной величины симво­ лом М, получим

(3-412>

так как МД = 0 . Таким образом,

а .

(£/> £//

Отсюда получим формулу для оценки коэффициентов

Погрешности оценки коэффициентов С\ можно определить, если вы­ числить дисперсии случайных величин:

* & Гг) .

6, = C f-C ,.

&

Строим для оценки значений дисперсии а2 новый А^-мерный

62

Тогда параметры нормальной величины тр суть

N) суть нормальные случайные величины с параметрами (0, а2). Поскольку при ортонормированием преобразовании сохраняется инвариантность расстояния (поворот координатных осей в прост­ ранстве), имеет место соотношение

М(р. р )

УЗя+ Ра

В результате можно обосновать метод отбора значимых факторов, существенно влияющих на выходную функцию. Для этого строим

3п-\-п2

— дисперсии:

63

где

друг от друга, то это означает, что (/ -+- 1)-й фактор не оказывает на выходную функцию непосредственного влияния и может быть отброшен.

Для проверки статистических гипотез о значимости расхожде­ ния двух дисперсий о] и crf |_ 1, взятых из нормальных генеральных совокупностей, используем распределение отношений несмещенных оценок дисперсий.

(3.4.21)

Распределение случайной величины F (так называемое распре­ деление Фишера) зависит только от числа степеней свободы /q = = к2 = N — 1, если выборка, т. е. число наблюдений, имеет объем, равный N. Чтобы проверить гипотезу о равенстве сх| и о'{+ ь построим критическую область для критерия F. После сравнения эмпириче­ ских значений F с величинами этой области делаем окончательный вывод об их равенстве.

Будем задавать коэффициент доверия р и фиксировать два зна­ чения Fy и F2, таких, что при соответствующих степенях свободы кг и к2

(3.4.22}

Если выборочное значение F оказывается в критической области, т. е. вне области значений (Flt F2), то гипотеза ст| = crf+i отвергается, так как вероятность того, что F не содержится в интервале (Flf F2)

Отбор влияющих факторов методом сравнения остаточных дис­ персий позволяет объективно оценить значимость факторов с по­ мощью имеющихся статистических данных, причем трудоемкость вычислений значительно уменьшается по сравнению с вычислением обычным методом наименьших квадратов.

64

По формуле (3.4.11) рассчитываем значения С\ только для зна­ чимых факторов. Для получения итоговых значений Ct применяется рекуррентное соотношение вида

где т — число наиболее влияющих факторов, отобранных с уче­ том попарных произведений нелинейных составляющих.

Если учесть, что случайная компонента А есть мера случайного влияния множества случайных факторов, характеризующих вы­ ходную функцию У, то вероятность того, что истинное значение У отклонится от вычисленного по формуле (3.4.5) не более чем на ko, определяется по формуле

Эта формула определяется из центральной предельной теоремы Ля­ пунова.

Оценки коэффициентов С), определяемые по формуле (3.4.13), являются приближенными, а следовательно, и оценки, получаемые линейной комбинацией значений С}, также приближенные. Отсюда целесообразно оценить меру точности определения коэффициентов С;. Среднее квадратичное отклонение коэффициентов С/ приближенно равно

После оценки коэффициентов зависимостей выходных функций У (основных технико-экономических показателей) от наборов наибо­

лее влияющих факторов xt (i — 1, т) и выбора окончательного вида этих зависимостей определяем вариантные значения У в прогнози­ руемом периоде. При этом задаем различные значения для влияю­ щих факторов в диапазоне граничных значений, отражающих воз­ можности функционирования исследуемой системы. Для определе­ ния граничных значений по факторам используются директивные указания и различные вариантные проработки, учитывающие пессимистические и оптимистические значения темпов и пропор­ ций экономического развития.

3 С, Э, Пивоваров