Файл: Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении.pdf

Введем обозначения:

Преобразуя систему уравнений (4.5.7) и используя введенные обозначения, получаем:

a 0s 0 -f- a ^ i + . . . + a ms m — Ро\

и т sg N, то определитель системы уравнений (4.5.8) отличен от нуля и, следовательно, она имеет единственное решение. Полином с такими коэффициентами имеет минимальное квадратичное откло­ нение — S min. В частном случае, если т = N , то аппроксимирую­ щий полином Qm (/') совпадает с полиномом Лагранжа для системы точек to, t\, ..., t'N, причем = 0. Таким образом, аппроксимация функций является процессом более общим, чем интерполяция.

Для решения уравнений (4.5.8) применяется один из методов решения систем .линейных алгебраических уравнений, например метод Краута. Можно применять также какой-нибудь из итерацион­ ных методов. После вычислений определяются следующие две ве­ личины, характеризующие аппроксимацию:

1) погрешность аппроксимации заданной функции алгебраиче­ скими полиномами т-й степени

где

в/= !/(«)-< ?»(«) I, i = 0, N;

2) максимальное отклонение аппроксимирующего полинома Qm ( ) от заданной функции

р= тах | f(t ' i) - Qm(/01

иточка отрезка, в которой существует это максимальное откло­ нение.

Рассмотренный способ обладает следующим недостатком. Если следует уточнить полученные результаты и для этого повысить

степень аппроксимирующего полинома, то необходимо не только

89

вычислить следующий коэффициент, но и пересчитать все предыду­ щие, так как изменится система уравнений, из которой они опре­ деляются.

В способе Чебышева [23] аппроксимирующий многочлен нахо­ дится в виде суммы многочленов повышающихся степеней, причем добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов при преды­ дущих. При этом способе аппроксимирующий многочлен получается в обобщенном виде, т. е. в виде комбинации многочленов, которые выбираются специальным образом. Искомый многочлен имеет вид:

Такие многочлены называются ортогональными многочленами Чебышева, и для них справедливы следующие формулы:

Фо (^<) — 1>

N

Формулы (4.5.8) (4.5.11) дают аналитическую зависимость рассмат­ риваемого фактора от времени. Из этих формул видно, что при задан­ ных точках to, t'i, .... t’s могут быть последовательно построены ортогональные многочлены Чебышева.

В данном случае по методу наименьших квадратов необходимо искать минимум функции:

S m = % К ф о (* ,') + . . . + Я т Ф т (t'i) ~ / ( * < ) ? .

<■= 0

90

Продифференцировав это выражение по а0, .... ат, придем к системе, аналогичной системе (4.5.8):

ность недостаточна, то нужно найти следующий член ат+1ц>т+1 (t\). Для этого по формулам (4.5.11) строим многочлен Фт+1(^') и по фор­ муле (4.5.13) вычисляем коэффициент пт+1.

Рассмотрим далее вычислительный алгоритм описанного метода. Алгоритм построения полиномов Чебышева содержит в себе автома­ тическое повышение степени аппроксимирующего полинома на еди­ ницу в том случае, если достигнутая степень точности недостаточна, а именно: не выполняется условие:

N

2 К ф о ( t ' i ) + • • • + ОтФт ( t ' i ) - f ( t i ) f = s m < e,

1=0

где e — заранее заданное число.

Минимальная степень аппроксимирующего полинома, с которой начинаются исследования, т = 1 (если по этому поводу не имеется каких-либо дополнительных сведений).

91

Рис. 7. Шаги 7 — 14 алгоритма построения аппроксимирующего полинома

.93

Алгоритм построения аппроксимирующего полинома и его блоксхема представлены на рис. 6—9.

Ш а г 1. Присвоение числу N (количество узлов) значения пр. Ш а г 2. Присвоение хгр значения хг (г = 1, п).

Р/....... *-i обозначается через Рг).

Ша г 7. Обозначение xt через Р*-х.

95