Файл: Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении.pdf

Ограничившись в формулах разложений (4.4.4) и (4.4.5) первыми слагаемыми, окончательно имеем:

М (г/р) ^ /р ( * ъ *2.......х м У,

ol, (Р = 1. 2, .... N) (4.4.6)

дх,.

Ц=1

Поскольку случайная величина г/р зависит от независимых и нормально распределенных переменных xt, х2, .... *м, то есть осно­ вания полагать, что она также имеет функцию распределения, близкую к нормальной. В этом случае, задавшись допустимыми отклонениями ер и вероятностями ар, можно получить ряд уравне­ ний, связывающих между собой ер, ар и дисперсии входных величин

ГДеФ(0=^ Ь 2dZ-

о

По таблице значений функции Ф (t) нетрудно определить зна­ чение t, соответствующее вероятности у (1 — Ра). Так, для а = 0,01

имеем t = 2,58.

Поскольку | г/р — М (г/р) | sg ер, то из приведенного выше соот­

Окончательно, подставив в формулу (4.4.7) выражение для D (г/р), получим для определения максимально допустимых значений неиз­ вестных дисперсий of, 0|, ..., о"м систему уравнений

Заметим, что полученная система линейна относительно неиз­

84

Ёовать единственное решение. В общем случае М < N или М > N. В первом из них решение может быть не единственным, а во вто­ ром — не существовать вообще.

Будем тогда считать, что совокупность чисел а], ..., 0 % является решением системы (4.4.9), если она обращает в минимум положи­ тельно определенную форму

/=■= 2 0 р(фЭ),

р=1

где функции G (г) подобраны таким образом, чтобы быть положи­ тельными при любом г. Удобно выбрать Gp (г) = г2. В этом случае

Для определения неизвестных of, ..., 0 %,минимизирующих функ­ ционал (4.4.10), следует применять градиентные методы. Решение может быть найдено, например, методом наискорейшего спуска. Последний реализуется на ЭВМ.

4.5. Параметрическое исследование факторов, определяющих прогноз основных показателей развития отрасли

Для выявления зависимости изменения факторов, определяю­ щих прогноз основных показателей развития отрасли, от времени как в ретроспективном, так и в прогнозируемом периоде необхо­ димо провести параметрическое исследование их, приняв время за исследуемый параметр, а именно, дать вывод аналитических зависимостейвида х — f (t), где х — рассматриваемый фактор, t — время. Для проведения указанного исследования следует раз­ работать методику получения значения исследуемого фактора в не­ которой произвольной, точке г.

Итак, будем исследовать зависимость х — f (/), не имея при этом в виду какой-то определенный фактор, так как приведенные ниже

Здесь t0 = а — первый год рассматриваемого ретроспективного периода, tn = b — последний год этого периода. Причем п мало (исследуются коэффициенты экономико-математической модели мо-

-8 5

лодой подотрасли приборостроительной промышленности, не имею­ щей достаточного накопленного статистического материала). По дан­ ным значениям выводим интерполяционную формулу позволяющую определить значения исследуемого фактора в ряде промежуточных точек. Таким образом, получим таблицу

Далее, используя аппроксимацию полиномами Чебышева, по таблице (4.5.2) строим функцию, аппроксимирующую рассматри­ ваемый фактор. Аппроксимирующий полином учитывает большое количество узлов (степень его т меньше N — числа узлов), причем он позволяет как бы сглаживать величины случайных ошибок в таб­ личных значениях функции, тогда как при интерполяции случай­ ные ошибки были бы занесены в интерполяционный полином.

Таким образом, вначале для данных tt и xt (i = 0, п) пишется многочлен Ln (t) степени п

носящий название интерполяционного многочлена Лагранжа и удовлетворяющий следующим условиям:

Ln {to)— Xq,

Ln (^l) —Xi‘,

Ln(tn) — xm

Для практического употребления формула (4.5.3) неудобна. Целесообразно располагать вычисления по так называемой схеме Эйткина [23]. Пусть дана таблица (4.5.1). Тогда согласно схеме Эйткина для п = 1 искомый многочлен описывается формулой:

86

Для п — 2 формула выглядит следующим образом:

Можно показать, что формула (4.5.5) заменяет формулу Лагранжа (4.5.3). Для построения интерполяционного многочлена и вычисле­ ния значения фактора могут быть использованы и другие формулы, например формула Ньютона.

Рассмотрим далее вопрос о погрешности и сходимости интер­ поляционных методов. Для формулы Лагранжа имеет место следую­

где ? e [a, 6].Величину /Чп+1\ как правило, бывает очень трудно оценить. Некоторое представление о ней дает следующее прибли­ женное равенство:

где Д(п+1)— \п + 1)-я конечная разность. Следует помнить, что оценки, получаемые таким образом, очень грубы. Для более точных оценок приближения интерполяционного полинома к интерполи­ руемой функции необходимо исследовать вопрос об их сходимости.

Пусть задана треугольная матрица

/<° ‘о

где t f ) е [а, Ь].

Для / (0, заданной на [а, Ь\, строится последовательность интерпо­ ляционных полиномов Лагранжа Ln (/), п = 0, 1, 2, ..., причем в качестве узлов интерполирования берется п-я строка матрицы.

Интерполяционный многочлен называется сходящимся, если

lim La(t) = f(t), t<=\a,b}.

п-к»

97

Интерполяционный процесс называется равномерно сходящимся, если сходимость последнего выражения с интерполируемой функцией равномерная.

Для исследования вопроса о сходимости интерполяционного процесса рассмотрим теорему, относящуюся к классу наиболее распространенных целых функций. Функция / (t) называется целой, если ее можно представить в виде степенного ряда

f (0 = a0 + a1( t - t 0) + ... + an ( i - t0)n,

сходящегося при всех значениях t.

Т е о р е м а . Пусть / (t) — целая функция. Тогда последова­ тельность интерполяционных многочленов Ln (t), построенных для нее по любой треугольной матрице указанного выше вида с эле­ ментами, принадлежащими отрезку [а, b], равномерно сходится с f (t). Исходя из экономической сущности исследуемых факторов, их можно считать целыми функциями, что доказывает сходимость интерполяционного процесса.

Итак, путем интерполяции построена таблица (4.5.2). Перейдем к следующему этапу. Будем строить многочлен степени т, аппрок­ симирующий рассматриваемый фактор. Выбор m-степени этого многочлена рассмотрим ниже. Опишем вначале вкратце точечный

i = о

Полином Qm (i'i) называется аппроксимирующим для данной функ­ ции. Для построения этого полинома найдем частные производные

88