Файл: Пивоваров, С. Э. Моделирование процессов прогнозирования в приборостроении.pdf

Г л а в а 5

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОГНОЗА

РАЗВИТИЯ ОТРАСЛИ

5.1. Вывод математической модели выбора оптимального варианта прогноза

развития отрасли

Задачу выбора (определения) оптимального варианта прогноза развития отрасли будем формулировать с помощью модели, описан­ ной в п. 4.2, несколько упростив ее и приняв все коэффициенты мо­ дели за функции времени. Причем время характеризует весь период прогнозирования. Таким образом модель примет следующий вид: требуется найти минимум функционала

т р т п ft

при условиях:

1/—1

тр

%г = 1 <7 = 1

Обозначим коэффициенты модели (5.1.1) — (5.1.8) соответственно

(5.1.1) — (5.1.8) сформулируем следующим образом: требуется обра­ тить в максимум линейную форму

Предположив, что фактор времени выступает как параметр коэф­ фициентов линейной формы, составляющих векторов условий и век­ торов ограничений и линейно зависит от них, задачу (5.1.9) — (5.1.11) сформулируем как общую задачу линейного параметриче­ ского программирования.

Требуется обратить в максимум линейную форму

98

5.2. Анализ методов решения задачи оптимизации

Прежде, чем начать анализировать метод решения общей задачи линейного параметрического программирования, сформулирован­ ной в п. 5.1, разберем ряд более простых задач параметрического программирования [12], [67, 68], которые будут способствовать вы­ воду алгоритма общей задачи.

1-я частная задача линейного параметрического программиро­

плана данной задачи является оптимальным для некоторого t, если оценки относительно этого базиса всех векторов условий, вычислен­ ные при данном t, неотрицательны. Полная совокупность значений параметра t, при которых базис оптимален, называется множеством оптимальности этого базиса.

Проанализируем изменение решения задачи (5.2.1) — (5.2.3) с изменением параметра t. Пользуясь любым алгоритмом метода последовательного улучшения плана (метод подробно будет описан ниже), решим задачу для некоторого t = t0. После анализа конеч­ ного числа шагов получим оптимальный план задачи (случай 1°) или убедимся в неограниченности линейной формы (5.2.1) на множестве планов задачи (случай 2°). Случай несовместности условий (5.2.2) — (5 .2 .3) не представляет интереса, так как при этом задача для любого t не имеет решения. Рассмотрим первые два случая отдельно.

С л у ч а й 1°. Вычислим оценки Дj (t) векторов Aj относительно найденного оптимального (для t = t0) базиса A h, A iit ..., A iM задачи

м

Д ; « ) = Е С‘ ( 0 * у - С у (* ) =

Обозначим:

м

м

Тогда

Aj (t) = A(l -f- 1А1г.

Так как исследуется оптимальный для i = t0 базис, то А Э * О, (/ = 1, N), т. е. система неравенств

совместна. Для всех А/, < 0 неравенства системы могут быть запи­ саны в виде

адля всех Ду, > 0 — в виде

Обозначим:

(5.2.5)

ется оптимальным только для тех значений t, которые удовлет­ воряют системе неравенств (5.2.4). Множество оптимальности дан­ ного базиса состоит из всех значений t, для которых справедливо

условие / «s t ^ /.

Таким образом, числа / и 1 полностью характеризуют множество

оптимальности Е (t, t) данного базиса:

а) если t_> то Е (t, t) — пустое множество;

100

Исследуем далее задачу (5.2.1) — (5.2.3) для значений t > t .

При этом будем считать 7 •< оо, т. е. среди чисел А/, имеются отри­ цательные. Пусть k один из индексов, определяемых соотношением

Новый базис является оптимальным по крайней мере для t = t. Отсюда по формулам, связывающим параметры двух последователь­ ных итераций метода последовательного улучшения плана,

любое i < 7 не удовлетворяет системе (5.2.7).

101