Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
дул |
дхг |
\ |
|
|
I |
|
дхх |
|
|
|
ду, |
\(дхл |
|
дул |
|||
да |
дМ0 |
] |
|
1 |
Г 1 |
|
< Ш 0 |
|
1 |
^ |
dMj\da |
|
|
де |
|||
да |
' |
де |
) |
|
~г |
[ 1 |
|
да |
+ |
V |
l |
|
да |
)\де |
' |
" Щ " |
|
ty\ |
дхл |
|
\ |
_ |
( |
• |
дх, |
|
|
• |
ду, |
)(дх, |
|
ду^ |
|||
<?е |
< Ш 0 |
у |
л |
1 |
Л |
л |
|
1 |
i~ |
У1 |
л „ |
|
|
дМ0 |
|||
V |
|
^ |
|
|
|
^ |
де |
)\да |
|
|
|||||||
da |
< Ш 0 |
/ |
|
|
Г 1 |
|
с Ш 0 |
^ |
|
с?Ж0 |
/ I , |
да |
де |
||||
|
|
|
|
|
|
ду^_ |
|
дхх |
|
s i n / . |
|
|
(VI.6.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
да |
|
|
де |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Выражение |
(VI.6.1) |
показывает, |
|
что |
для |
нахождения |
определителя |
||||||||||
матрицы перехода |
Р |
|
достаточно |
знать проекции |
вектора |
состояния g , |
|||||||||||
на оси орбитальной системы координат OA'I K1 Z1 и их производные по внутриплоскостным кеплеровым параметрам. Кроме того, определитель
матрицы |
перехода Р |
и |
соответственно |
возможность и |
точность |
опреде |
||||||
лений в случае применения кеплеровых |
параметров не |
зависят |
от |
долго |
||||||||
ты восходящего узла |
и |
аргумента |
перигея, а |
полностью |
определяются |
|||||||
углом наклонения орбиты и внутриорбитальными элементами. |
Значение |
|||||||||||
определителя |
матрицы |
перехода |
р |
при |
приближении |
орбиты |
к |
эквато |
||||
риальной |
уменьшается, |
а для |
экваториальной |
орбиты |
— |
равно |
нулю, |
|||||
что равносильно увеличению объема многомерного эллипсоида |
|
ошибок |
||||||||||
определения |
кеплеровых |
параметров. |
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем выражение (VI.6.1), подставив в него соответствующие составляющие вектора g l и производные от них по внутриорбитальным кеплеровым элементам а, е и М0, взятые из § VI.2. В результате под становки и выполнения ряда преобразований получаем выражение для определителя матрицы перехода к кеплеровым параметрам
detP = - |
^ ^ s |
i r u . |
(VI.6.2) |
Как видно, определитель матрицы перехода |
к кеплеровым парамет |
||
рам, является функцией только |
трех |
элементов: |
а, е и г. Кроме того, |
он зависит от гравитационной постоянной центрального тела ц, равной
произведению |
постоянной |
тяготения на |
массу |
центрального тела, |
во |
||||
круг которого |
вращается |
КА. |
|
|
|
|
|
|
|
Существенным моментом является то, что, когда в качестве незави |
|||||||||
симой переменной |
взята |
эксцентрическая |
или истинная аномалии, |
опре |
|||||
делитель матрицы |
перехода Р |
не является |
функцией указанных |
текущих |
|||||
переменных, |
соответствующих |
моменту |
t0. |
Это |
свидетельствует |
о |
том, |
||
что точность определения кеплеровых параметров в смысле объема мно
гомерного |
эллипсоида |
ошибок |
не зависит от того, |
на какой момент |
|
времени |
определены |
начальные |
условия в прямоугольной системе. По |
||
следнее, естественно, |
справедливо только в том случае, когда |
определи |
|||
тель корреляционной |
матрицы |
ошибок определения |
начальных |
условий |
|
не зависит от момента |
U. |
|
|
|
|
I72
Из выражения (VI.6.2) следует, что матрица перехода Р между дифференциалами составляющих вектора состояния КА, заданных началь ными условиями прямоугольной системы и кеплеровыми элементами, от носится к классу неортогональных матриц. При этом, так как определи тель матрицы перехода Р является функцией некоторых кеплеровых элементов, можно сделать предположение о том, что система кеплеровых параметров представляет собой многомерную неортогональную, особую
косоугольную систему отсчета. Особенность данной |
косоугольной |
систе |
|||||||||||||||
мы |
отсчета |
заключается в |
том, что |
взаимное |
положение |
некоторых ло |
|||||||||||
кальных |
базисных |
ее векторов |
зависит |
от |
величины |
эксцентриситета е |
|||||||||||
и наклонения орбиты |
(. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Функциональная |
|
зависимость |
взаимного |
|
расположения |
базисных |
||||||||||
векторов от указанных кеплеровых элементов |
приводит |
к |
тому, |
что с |
|||||||||||||
изменением |
значений |
эксцентриситета |
е |
и |
угла |
наклонения |
i меняется |
||||||||||
не |
только |
форма |
многомерного |
эллипсоида |
|
ошибок |
определения |
пара |
|||||||||
метров q, |
но и его объем. |
Так, |
при уменьшении |
эксцентриситета или |
|||||||||||||
наклонения |
объем |
|
эллипсоида |
увеличивается |
и в |
предельном |
случае, |
||||||||||
когда е -+ 0 |
или i -*0, значение его стремится |
к |
бесконечности. Это обус |
||||||||||||||
ловлено вырождением шестипараметрической системы кеплеровых пара
метров, |
и |
как следствие |
этого |
при е=0 |
в матрице |
перехода |
Р наблю |
||||||
дается |
пропорциональность |
между столбцами, |
представляющими |
собой |
|||||||||
производное от |
вектора |
g |
по |
угловому |
расстоянию |
перигея |
и средней |
||||||
аномалии. |
При |
(=0 имеется |
пропорциональность |
между |
производными |
||||||||
от составляющих вектора g |
по параметрам долготы |
восходящего |
узла |
||||||||||
Q и углового расстояния |
перигея со. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, зоны пониженной точности определения |
кеплеровых |
||||||||||||
параметров |
непосредственно |
примыкают |
к тем |
областям |
их |
задания, в |
|||||||
которых один или несколько элементов теряют физический смысл. Потеря
физического |
смысла |
отдельными параметрами обусловлена |
вырождением |
||
шестипараметрической |
системы кеплеровых элементов в систему с мень |
||||
шим числом |
параметров. Так, например, для характеристики |
углового по |
|||
ложения КА при движении |
его по круговой |
экваториальной |
орбите вместо |
||
трех элементов Q, и |
и М 0 |
следует ввести |
только один угловой параметр |
||
равный сумме последних. Отметим, что использование систем с меньшим числом параметров не позволяет достаточно точно характеризовать про
странственно-временное |
состояние КА при |
движении |
его |
по |
|
почти |
кру |
|||||||
говым |
и почти |
экваториальным |
орбитам. Для характеристики |
подобных |
||||||||||
орбит, |
как |
и |
в общем |
случае, |
необходимо |
знание |
численных значений |
|||||||
шести |
независимых постоянных. |
Однако |
систему |
кеплеровых |
|
параметров |
||||||||
нецелесообразно использовать при определении элементов |
вышеуказанных |
|||||||||||||
орбит. Для этих орбит следует |
применять |
другие |
системы |
|
параметров, |
|||||||||
среди которых могут быть системы, содержащие |
|
элемент, |
представляю |
|||||||||||
щий линейную |
комбинацию из |
углового |
расстояния |
восходящего |
узла, |
|||||||||
перигея |
и средней аномалии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
(VI.6.2) |
дает возможность |
не только |
определить |
поло |
|||||||||
жение |
зон пониженной |
точности, |
обусловленных |
свойствами |
пространства |
|||||||||
кеплеровых |
параметров |
орбиты, |
но и количественно |
оценить |
ухудшение |
|||||||||
точности определений в смысле увеличения объема многомерного эллип соида ошибок при подходе к этим зонам. Так как определитель матрицы перехода Р я,вляется составной частью определителя корреляционной матрицы ошибок оценки кеплеровых параметров, который с точностью до постоянных множителей численно равен объему многомерного эллип
соида рассеяния, то с |
учетом |
выражений |
(VI.3.10) и |
(VI.3.11) можно |
показать, что соотношение |
|
|
|
|
К= |
I detP |
| m J I detP |
| , |
(VI.6.3) |
173
где |
| d e ( P | m a x — максимальное значение определителя матрицы перехода |
Р, |
может быть записано в виде |
|
|
|
|
|
|
K=VJV9mln, |
|
|
|
|
(VI.6.4) |
|
где |
Кэ |
— объем эллипсоида ошибок определения |
кеплеровых |
парамет |
||||||||
ров |
орбиты |
при |
любом |
задании эксцентриситета |
и угла |
наклонения; |
||||||
Уэт-т— |
объем эллипсоида ошибок при е = 1 |
и /=90°. |
|
|
|
|
||||||
|
Естественно, |
что |
между |
соотношениями |
(VI.6.3) |
и |
(VI.6.4) |
сущест |
||||
вует равенство только в том случае, когда определитель |
корреляционной |
|||||||||||
матрицы |
ошибок |
уточнения начальных условий движения в |
прямоуголь |
|||||||||
ной |
системе |
при |
изменении |
эксцентриситета |
и угла |
наклонения |
орбиты |
|||||
остается |
постоянным. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если значение большой полуоси кеплеровой орбиты остается посто |
|||||||||||
янным, |
то |
величина |
УС характеризует изменение размеров |
многомерной |
||||||||
области |
рассеяния |
при |
изменении эксцентриситета |
и |
угла |
наклонения |
||||||
К
Рис. VI.4. Характер изменения объема эллип
соида ошибок |
при изменении |
эксцентриситета |
||
и |
угла |
наклонения |
орбиты. |
|
(рис. VI.4). При одних |
и |
тех |
же значениях определителя корреляцион |
|
ной матрицы ошибок определения начальных условий размеры много
мерного эллипсоида ошибок определения кеплеровых параметров |
дости |
|||||||||
гают минимального |
значения при е = 1 |
и 1 = 90°. При |
этом |
значение вели |
||||||
чины К равно единице. С изменением |
эксцентриситета |
или |
угла |
наклоне |
||||||
ния в сторону их |
уменьшения |
размеры эллипсоида |
ошибок |
увеличивают |
||||||
ся, достигая бесконечно большой величины при е |
->- 0 или |
Ь |
0. |
Есте |
||||||
ственно, |
что |
значение коэффициента |
К при этих же значениях эксцен |
|||||||
триситета |
и |
угла |
наклонения |
также |
стремится к |
бесконечности. |
|
|||
174
|
Гак |
как |
при постоянном |
значении |
большой |
полуоси |
коэффициент |
|||||||||
(VI.6.3) |
является |
функцией |
двух |
переменных |
|
К=К |
(е, |
i ) , то |
в об |
|||||||
ласти задания параметров е и i функция |
К (е, |
i) |
изображается |
поверх |
||||||||||||
ностью. На рисунке приведена только часть этой |
поверхности, |
ограничен |
||||||||||||||
ная |
областями задания эксцентриситета |
и угла |
наклонения |
в |
пределах |
|||||||||||
в=\ -г- 0,025; i=90° -=- 1°,5. При этом имеющиеся |
|
на |
поверхности |
линии |
||||||||||||
представляют собой следы пересечения данной |
поверхности |
с |
плоскостя |
|||||||||||||
ми, |
параллельными |
координатным, |
т. |
е. |
эти |
линии |
показывают |
харак |
||||||||
тер изменения коэффициента К при изменении |
одного |
из |
кеплеровых |
|||||||||||||
элементов в |
вышеуказанных |
пределах |
и |
фиксированном |
значении |
друго |
||||||||||
го параметра. Хорошо видно, что при изменении эксцентриситета в пре
делах |
е = 1 |
0,4 и |
угла наклонения орбиты |
в |
пределах |
£=90° |
-^25° |
объем |
многомерного |
эллипсоида ошибок определения кеплеровых |
эле |
||||
ментов |
увеличивается, |
не более чем в шесть |
раз. |
Точность |
значительно |
||
ухудшается, |
когда значение эксцентриситета |
(угла наклонения) |
лежит |
||||
ниже |
0,01 |
( Г ) . |
|
|
|
|
|
VI.7. Системы элементов, подобные кеплеровым. Канонические параметры движения
|
|
При рассмотрении систем элементов, подобных кеплеровым, и ка |
|||||||||||||||
нонических |
параметров |
движения |
в |
качестве |
исходной |
|
целесообразно |
||||||||||
использовать |
ииерциальную |
геоцентрическую прямоугольную |
координат |
||||||||||||||
ную |
систему, |
а в качестве |
промежуточной — систему кеплеровых эле |
||||||||||||||
ментов. Поэтому для удобства матрицу перехода |
между |
дифференциа |
|||||||||||||||
лами |
составляющих |
вектора |
состояния, |
заданных |
начальными |
условия |
|||||||||||
ми |
движения |
в |
прямоугольной системе |
координат |
и |
элементами рас |
|||||||||||
сматриваемых |
систем, представим |
произведением |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р; = |
PN;, |
|
|
|
|
|
|
||
в |
котором |
матрица |
Р |
характеризует |
преобразование |
дифференциалов |
|||||||||||
при |
переходе |
от |
промежуточной |
к |
прямоугольной |
системе |
отсчета, а |
||||||||||
матрица |
|
устанавливает |
связь |
между дифференциалами |
рассматрива |
||||||||||||
емых |
систем |
параметров |
и |
кеплеровых |
элементов |
орбиты, |
выступающих |
||||||||||
в |
качестве |
промежуточной |
системы |
отсчета. |
При этом |
|
для |
оценки |
|||||||||
свойств канонических параметров движения и параметров, подобных кеп
леровым элементам, необходимо |
проанализировать также и свойства |
|
определителя матрицы |
N ; . |
|
J . Элементы орбит, |
подобные |
кеплеровым |
Вкачестве систем параметров, подобных кеплеровым, рассмотрим
модификации системы кеплеровых параметров, характеризующиеся |
заме |
|||||||||||
ной некоторых ее элементов на другие, |
более удобные для |
решения |
той |
|||||||||
или иной |
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
табл. V I . 1 приведены |
некоторые |
модифицированные |
системы |
эле |
|||||||
ментов, |
определители |
матриц |
дополнительного |
перехода |
N; |
и |
матри |
|||||
цы Р ; , а также физически |
реализуемые |
значения параметров, |
при |
ко |
||||||||
торых |
det |
Р.-*0. Как |
видно |
из |
таблицы, |
использование |
параметров, |
|||||
подобных |
кеплеровым, |
приводит |
к неодинаковой |
точности |
их |
определе |
||||||
ния во всем пространстве задания этих параметров. Объем эллипсоида
175
|
|
|
Таблица V I . 1 |
|
|
(let N ; |
Значения определяе |
пп |
Характеристика замены |
мых параметров, при |
|
|
|
|
которых det |
1
2
3
4
5
6
7
8
|
|
|
а |
на |
р |
|
1/(1 |
|
|
|
|
е |
|
на |
/? |
|
— 1 \1ae |
|
|
|
а |
на |
Г |
|
|
|
|
|
М 0 |
|
на т |
|
—У\х,а]/а |
||
|
|
г |
на |
cos i |
|
— 1 /sin i |
||
г « |
м н а |
( £ = |
ecoscu; |
/г = е sin ш; |
— 1/e |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г, е, |
|
f6 = |
cosj; |
|
1 \e sin t |
|||
со, Ж 0 |
H a U = |
|
ecoscu; /г = е sin со; |
|||||
|
|
1Ж, = |
си + |
УкГ0 |
|
|||
X sin i\2{ |
1-е2) |
<?->0; |
г - > 0 |
|
|
||
|A "Кн. sim/4]/a |
Z —0 |
||
—(?|J.2Sln i/бтс |
е ^ О ; |
г-»-0 |
|
ер.2 sin |
i\2a |
|
|
e\>- Ya\>-№ |
е ^ О |
ц У a p. sin i/2 |
/ - > 0 |
— Р-У a- 1A; 2 |
|
г, |
со,| |
= sin г cos 2; /?, = sin i sin Q; |
|
|
|
на <ft,=ecos(co-f-S); /ij = esin(to4-Q); — 1/e sin £ cos i |j. ]/ap/2 cos С |
i - v 9 0 ° |
M0 |
J |
• Lw a = со + 9 + j W 0 |
|