Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

пытаемся

найти

те области

задания

кеплеровых

элементов

орбиты, для

которых

определитель

матрицы

стремится

к нулю. При этом

будем по­

лагать,

что

определитель

матрицы

равен

нулю

только

в тех случаях,

когда

столбцы

матрицы

Р

вырождаются

в нуль-векторы

или

между

ни лги

наблюдается

пропорциональность

(линейная

зависимость).

Исследуем

матрицу

перехода,

записанную

в

форме

(VI.2.23), т.' е.

исследуем

столбцы

Р, 7

матрицы

перехода

на

вырождение

их в

нуле­

вые векторы и на пропорциональность между ними.

Из

предыдущего материала

видно, что ни одна

из матриц,

входящих

в качестве

сомножителей

в матрицы-столбцы

Р.,-,

не вырождается в

нуль-матрицы

ни при каких

реальных

значениях

кеплеровых

параметров

орбиты и текущего аргумента Е. Поэтому

элементы Р.у

матрицы

пере­

хода

могут

принимать

нулевые

значения только

в

тех случаях,

когда

ментов

матрицы g ,

и

производных

от ее

составляющих

по

парамет­

рам а, е, М0),

и элементов

других матриц-сомножителей

(элементов

мат­

риц G,

Н, S, и их производных

соответственно по углу

Q,

i , м) будет

равна

нулю.

В

качестве критерия вырождения любого из векторов

Р . ,

в

нуль-

вектор

можно

принять

критерий

равенства

нулю

модуля

вектора

Р.

или его квадрата. В

самом

деле,

Р.у

может

быть

нуль-вектором

тогда ;

ц только тогда, когда

имеется равенство

Р у . Р . у ^ О .

(VI.4.4)

В

качестве

критерия

линейной

зависимости

(пропорциональности)

двух

векторов Р.у и Р.£

можно принять критерий

равенства

нулю мо­

дуля разности двух векторов, один из которых есть

исследуемый

вектор,

например р ^

а

второй — произведение некоторой вещественной

скаляр­

ной

величины

а

на

второй исследуемый

вектор Р.,-. Если

составить

произведение

( Р . / -

аР.,-)т ( Р . / -

<*Р./) = е,

(VI.4.5)

то можно показать,

что это выражение

будет равно

нулю только в том

случае,

если между

составляющими

векторов

Р.( - и Р . ; имеется

пропор­

отыскания

такого

вещественного значения коэффициента

а,

не равного

нулю, при котором

с учетом области задания параметров

q

будет вы :

полниться

равенство

( Р . / -

аР.,-)т

( Р . ; - а Р . , ) =

0.

(VI.4.6)

"Если это равенство

выполняется

при а = 0,

то

фактически

выполняется

условие

(VI.4.4), т. е. Р.у

есть

нуль-вектор.

Можно показать,

что если

Р.^ и Р.,-

ортогональны, то

выражение

((VI.4.5)

приводится к соотношению

P:.P./ + a2P:,P., = p

(VI.4.7)

н может быть равно нулю в

той

области задания

параметров q ; в ко­

торой оба

вектора .нулевые,

так

как

ортогональные

векторы линейно

независимы.

Необходимо отметить,

что

условие (VI.4.6) выполняется тогда, когда

неравенство

Буняковского

—

Коши,

используемое в работе [4] для ха­

вращается

в

равенство.

На основе проведенных исследований по определению и анализу

квадратов

модулей

векторов

матрицы

Р

(VI.2.23) можно

прийти к

сле­

дующим выводам.

Квадрат

модуля

первого

вектора

Ру,

Р-1 при эллиптическом движе­

нии не равен

нулю

ни при

каких значениях кеплеровых

элементов.

Од­

цательным.

Это говорит о

том, что для характеристики параболических

и гиперболических орбит необходимо использовать

систему других пара­

метров. В

частности, для

параболических орбит

достаточно сохранить

ничений,

накладываемых

на

существование параболической орбиты

[28].

Для гиперболических орбит большая полуось

теряет то

значение,

ко­

торое она имела при эллиптическом движении.

Для

эллиптических

орбит

квадрат модуля

третьего

вектора РУ3

Р-з

координатных составляющих вектора состояния gr

по

параметру

угло­

вого

расстояния

восходящего узла при i, а>=90°

и

£ = 0 (момент

вре­

мени / 0 соответствует проходу КА точки вертекса

при

полярной

орбите)

равны

•нулю. При

этих значениях наклонения орбиты

и

углового

расстоя­

экватором,

производные

от скоростных

составляющих

по

параметру

углового расстояния восходящего узла равны нулю.

Определяя квадрат

модуля

второго,

четвертого

и последующих

столбцов матрицы Р . приходим к выводу,

что эти столбцы не вырож­

даются в

нулевые, так как квадраты их

модулей определяются

суммой

квадратов

элементов последнего

сомножителя, который

ни

при

каких

При исследовании матрицы

Р

на

пропорциональность

между

столб­

цами получены данные, которые показывают,

что

между

1-м

и

2-,

4-,

5-,

6-м векторами (столбцами) выражения (VI.2.23)

пропорциональности

не

наблюдается. Эти векторы взаимно ортогональны, а так

как

ни один

из

них не

является ненулевым,

то

условие (VI.4.6)

не выполняется.

Следует

подчеркнуть,

что

при

исследовании матрицы

перехода

на

пропорциональность между

столбцами

особое

внимание следует

обратить

на

те векторы, которые содержат производные от составляющих

вектора

состояния

по

параметрам

одинаковой

размерности

(в частности,

по

уг­

физическим соображениям тот или иной элемент

орбиты

теряет

смысл.

Так, исследования

выражения (VI.4.5)

для

второго и

шестого

столбцов

матрицы показали,

что оно становится

равным

нулю

при

а =

—1

для

е = 0 . Равенство

нулю указанного выражения

говорит о

том, что

в

этом

случае матрица

перехода становится особенной

и

определить все

шесть

кеплеровых

параметров не представляется

возможным. Это

н понятно,

так как в

дампом случае эллипс вырождается в окружность, а для ок­

ружности

параметр углового расстояния

перигея ю теряет

смысл. При

Выражение

(VI.4.5) для

второго

и

третьего

столбцов

матрицы пере­

хода

Р при условии,

если

долгота

восходящего

узла

теряет

физический

смысл

(/=0), удовлетворяет

требованию

(VI.4.6). Это говорит

о том, что

между

вторым

и третьим столбцами

матрицы

(производными

от

векто­

ра состояния JT по скалярным величинам Q и

со] наблюдается

пропор­

циональность.

Поэтому

кеплеровы

элементы орбиты

при

небольших уг­

ходимо применять

другую систему параметров. В частности, в

работе

[3] рекомендуется

вместо угла наклонения использовать косинус

этого

Для почти

круговых орбит

при

небольших углах наклонения наряду

с пропорциональностью между 2-м

и 3-м

наблюдается

также

пропорцио­

нальность

между 3-м и 6-м столбцами матрицы.

Для определения пропорциональности между столбцами

Р.,- и Р.,-

могут быть использованы и другие

критерии. В частности,

по

аналогии

со

скалярным

произведением

векторов

в трехмерном

евклидовом

про­

странстве можно ввести «угол» 0 между

векторами

P.j

и Р . ( ,

опреде­

лив его из соотношения

^ ^ ^ ( P j . P . ^ P y . P . / J C P ^ P . , ) .

(VI.4.8)

Значения

параметров, удовлетворяющих

условию

cos2 0=I,

определяют

ту

область

их возможного задания,

в которой матрица

Р

становится

син­

зованием указанного критерия подтвердили справедливость ранее

полу­

ченных

выводов

и

показали,

что

косинус угла

между

столбцами Р , 2

1 1

Р.з,

Р.2

и

Р.6.

Р-з и

Р-с

связан

соответственно

с

параметрами

i,

е, i

и е

такой

функциональной

зависимостью,

которая

при i,

е -+0

приводит

косинус угла к своему максимальному значению.

При

i,

е = 0 в

системе

кеплеровых

параметров,

как

в

системе

отсче­

та, используемой для характеристики вектора состояния

КА,

между не­

которыми

ее

составляющими

имеется

линейная зависимость.

Этими со­

между столбцами

матрицы

перехода, но и столбцами

и

строками

-матри­

цы

вторых производных

АКФ

сигнала

по

определяемым

параметрам

q . Дл я

орбит с

эксцентриситетом или наклонением,

близким к

нулю,

матрица

вторых

производных АКФ сигнала

независимо

от

расположе­

ния

используемых

измерительных

средств

и их комплексирования

являет­

ства

кеплеровых параметров орбиты (последние преломляются

в свой­

ствах

матрицы

перехода

р), наблюдаются

в тех областях их

задания,

в которых один или несколько элементов

теряют

физический

смысл.

При этом для однозначного определения движения КА можно

использо­

вать

меньшее

количество

независимых обобщенных

параметров

(случай

VI.5. Особенности определения

параметров

в прямоугольных

и криволинейных системах

отсчета

/. Прямоугольные системы

В качестве исходной

системы параметров g

выберем систему эле­

прямоугольной системе отсчета, например, в системе координат,

связан­

ной с наблюдателем. Тогда, выбирая в качестве определяемых

конечных

угольной координатной

системе q, например,

в

различных

геоцентриче­

ских

системах

отсчета,

мы

обнаруживаем, что

вследствие

ортогональ­

ности матрицы-перехода, характеризующей преобразования

дифференци­

алов

(VI.2.5),

модуль

ее

определителя равен

единице. А

это означает,

моугольной

системе отсчета

не зависят от области задания координат

и скорости

и одинаковы для

всех прямоугольных координатных систем.

которого

в криволинейных системах

производится отсчет углов. При этом

под

матрицей

перехода Р

будем

подразумевать одну из матриц пре­

образования,

определяемого

соотношением

(VI.i2.-15). Матрицы указанного

преобразования

квазидиагональные,

поэтому их определители

выра­

жаются

через

определители

матриц

непосредственного

.преобразования

дифференциалов

W u , Wc ( |,

1 1 Wr -

Последние легко могут быть опреде­

лены, так как матрицы непосредственного

преобразования

дифференциа­

лов

являются

диагональными

(VI.2.12).