Файл: Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами.pdf

у[s—1], g*[sl=rs

выбора

управления

ц[$] при фиксиро-

—*

ванных временных векторах “ Is—l],y[s—1], <7*[s]'. Предпола­

гаем, что функция потерь имеет вид (1.4)

или (1.5).

Стратегия Г$

должна

удовлетворять

естественным: усло­

виям:

r s> и,

j r srfS = l.

(1. б)

Q(u[sJ) .

управления.

является

нелинейным статическим с чис­

Пусть объект

тым запаздыванием на время

-гн= тД t и характеристики его

(так же, как

и

УУ)

заданы условными плотностями

P(<7[s-H]|«[s]),P(y[s +

т]|и[5)).

Предположим, что стратегия

y7(^*,<7[s+T])P(«[s],^[s-fx],y[s— l]|<7*)d2.

(1. 7)

2(«[s], <7.[s+xi, y[s—11)

Преобразуем

плотность вероятности

P(«[s], q[s +

x], у ;[s—•

— 1)9*). Для

упрощения записи зависимость .ее от

q* опу­

стим:

г - . : : '

' ■ "

'.

P(«[s], g'[s+'c],y[s— l]) = P(^[s+,5] \ иЫ,

1],

y[s— 1])P(u Ы|й [s— H .^ s + t— l],y[s— 1])X

X P ()'[ s - 1]

I ~u[s—Ur^ts-b-c— 1 ]), 3’[s— 2])P(«[s —

1],

q[s+t — l],y[s—2l).

П- 8)

Поскольку объект без памяти, в первом

множителе

выра­

жения (1.

8)

переменные m[s—1], ^[s-j-x—l],>»[s—1]

можно

опустить.

Действительно,

при

фиксированном

иЫ

плот­

ность вероятности

gts-Hl

не изменится, если

зафиксировать

еще

и перечисленные

переменные. По той

же

причине в

условной

плотности

P(y[s—1] | «[s— 1], <7k + -и—1], y[s—2])

следует

опустить

все

переменные справа

от

в

вертикальной

черты,

кроме k[s—х—1 ]. Второй множитель

(1- 8)

пред­

ставляет

собой стратегию

Г5

управляющего

устройства в

s-M

такте.

По определению Г5 ищем в классе

условных

плотностей вероятности иЫ, зависящих

лишь

от

реализа­

ций управления u(s—1) (в данном частном случае Г8

зави-

сит

только от «[s—т—1]) и контролируемых

выходов объ­

екта

y[s—1] в предыдущие моменты времени.

8):

С учетом сказанного упростим выражение

(1.

P(«[s], <7[s+T],y[s—1])= Р(<7к+т]|йЫ)ГsP(yls—l]|w[s—т—1]) X

X P (« k — 1], qls+ x — 1], y[s—2]) = р |р (^ [г'+ т ] |н[г'])Х

/=1

5—1

S—1

(1- 9)

i= 1

/=1

(1.

10)

i= 1

2(a[s — 1 ]yts—1 ])

где

*'*+* = j ^(9*,?[s+-c])rsP(<7[s+

2 ( m [s ],<?[s +

x])

5—1

+*] I k[s])

| u\i—x])dQ.

(1.

11)

i=l

Последовательность

оптимальных рещающих

правил

|Г5) находим, начиная с последнего Г„_т, из условия

ми­

теории

дуального

управления

[В.

15] процедуре.

Для

отыскания стратегии Гя_ т достаточно

минимизировать

по

Гл_ т функцию ■*!п с учетом соответствующих

ограничений

на управление. Проанализируем формулу (1. 11).

точно,

а .

Пусть все

плотности

вероятности

известны

функция

потерь выпукла.

В теории

статистических

реше­

ний

[1.1,

1.3] доказывается,

что

оптимальная

стратегия

является нерандомизированной, т. е. плотность вероятности

Г„_т (аналогично и другие)

вырождается

в

дельта­

функцию

Tn_ z=o(u[n—т]—и*1п—х]).

(1.

12)

В данном

случае и*— неслучайная

величина,

не зависящая

*4

—>

Действительно,

поскольку

в

от

и\п—х—1], у[п—х—1 ].

плотности P{y\i) | u [ i~ т])

не входят

переменные

интегри­

рования, то их можно вынести за знак интеграла. Запишем

х' для

s = n —т:

*—1

x,*+t= I X /3(yll’l I •«!*—'

Jw(7*,^[s4-c])rsP(^[s-fx]ja[s])rf.Q .

1=1

Q(ufsJ,q[s+~.J)

(1.

13)

Так как все Р(-)!>0 и в

функцию, стоящую

перед

знаком

интеграла, не входит и[$], то минимум

достигается

при минимуме по m[s ] интеграла, и обратная

связь

в

си­

стеме не нужна, накопление информации об

объекте

от­

сутствует (оно и не нужно, так как

априори

задана

мак­

симальная информация в терминологии А. А. Фельдбаума—

условные плотности известны точно). Управление

и* явля­

ется детерминированным управлением, оптимальным в сред­

нем. Дуальное управление в системе отсутствует

и

нет в

этом

необходимости.

б.

Допустим теперь, что априори отсутствует полная ин­

формация об условных

плотностях

вероятности

в

(1.

11).

При этом недостающую информацию УУ должно

накапли­

вать в процессе работы.

щие объект в

виде

^

[ s+ t] | n[s])=P0(?[s-M|[*,

й[5]),

/>№ +*] | a[s])=P0(y]s+t]|p,

( Ь И )

n[s]),

Рассмотрим байесову задачу.

Параметры р считаем слу­

чайными величинами

с

известной

плотностью

вероятности

Р(р). Функциих'5 |_х

и

R' s |_x в

соответствии

с формулами