Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
О б о з н а ч и м ч е р е з j c [ t ) |
э л ем ен т ы |
( 9 . 1 ) |
||
4 і ф |
= |
( ъ ) < c i t o ) |
||
Т о г д а э л е м е н т |
/ |
м ож ет |
бы ть п р е д с т а в л е н |
в в и д е суммы |
j = - 1 +d*>) I-(ъ)
|
П о д с т а в л я я т е п е р ь |
с=і |
|
1 |
/ |
в и с х о д н о е |
||
|
н ай д ен н ы е в ы р аж ен и я для |
|||||||
у р а в н е н и е ( 8 . 1 ) , п о л у ч и м |
|
|
|
|
||||
|
у- |
*t- |
|
|
|
^ |
|
|
или ^с |
у ч е т о м |
( 9 . 1 ) |
|
|
|
с =I |
|
|
|
It- |
|
|
|
|
|||
21 |
|
|
Zас(it)<(**)&■№=■ О |
(юл) |
||||
t-ч |
Р а з л а г а я т е п е р ь в е к т о р а |
|
|
|||||
|
К ( і а ) f c ( z - ) |
п о О а з и с у |
||||||
п р о с т р а н с т в а |
р к |
|
|
|
|
|
|
|
|
К(г0)£ ( Ъ) |
=г to e (.Ъ) е ,с (іа ) |
|
|
||||
и п о д с т а в л я я э т о р а з л о ж е н и е в ( Ю Л ) мы п о л у ч а е м , ч т о |
||||||||
к- |
‘ |
|
|
^ |
|
|
|
|
21 Лс(^о) |
(і.а)-f |
Г £ |
<tt'(i.)Y- (зЛе у, х |
0 |
||||
t=l |
|
' |
Сч |
*-/ |
L |
' OuU^)tK |
= |
- 20 -
После приведения |
подобных чл ен о в, иы |
в и д и м , ч т о |
|
Г |
*ѵ |
|
|
^ ( » и Сів) f |
Г, |
«V Ш f a (г)) е* (го) «= о . |
|
И з л и н е й н о й н е з а в и с и м о с т и в е к т о р о в |
*Ѵ с л е д у е т ,ч т о |
||
ч и с л а a L k . ( l t ) |
у д о в л е т в о р я ю т сл ед ую щ ей с и с т е м е л и н ей н ы х а л г е |
||
б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й |
к , |
|
|
|
|
|
|
<^к.[2о) + |
Z2 °Ѵ(2в) Хсѵі(Ъ)— О |
||
|
i~t |
|
Н е т р и в и а л ь н о е р еш ен и е э т о й с и с т е м ы б у д е т в т о м и т о л ь к о
в т о м с л у ч а е , е с л и в к а к о й - л и б о т о ч к е о п р е д е л и т е л ь э т о й с и с т е м ы
Jli i -tХек С У )
о б р а т и т ь с я в н у л ь . Э т о т д е т е р м и н а н т , к о то р ы й е с т е с т в е н н о н а з
в а т ь д е т е р м и н а н т о м |
|
Ф р е д г о л ь м а с е м е й с т в а ( 4 . 1 ) я в л я е т с я по |
|||||||
п о с т р о е н и ю а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й і |
, а .с л е д о в а т е л ь н о ^ м ож ет |
||||||||
о б р а щ а т ь с я |
в |
н у л ь |
н а |
к о н е ч н о й |
п л о с к о с т и лиш ь в |
и з о л и р о в а н н ы х |
|||
т о ч к а х . Эти м |
д о к а з а н о , |
ч т о с е м е й с т в о |
( 4 . 1 ) |
м ер о м о р ф н о о б р а т и м о . |
|||||
Д о к а ж е м т е п е р ь в т о р у ю ч а с т ь т е о р е м ы - к о н е ч н о м е р н о с т ь |
|||||||||
о п е р а т о р о в , |
|
с т о я щ и х |
при |
о т р и ц а т е л ь н ы х с т е п е н я х |
в л ѳ р а н о в с к о м |
||||
р а з л о ж е н и и м ер о м о р ф н о й ф у н к ц и и |
/ r W |
в о к р е с т н о с т и к а к о г о - |
|||||||
л и б о п о л ю с а . |
2 = і ц |
- |
полю с п о р я д к а |
|
о п е р а т о р н о а н а ч н о й |
||||
П у с т ь |
|
К > 0 |
|||||||
ф у н к ц и и |
|
|
. Т о г д а о н а р а з л а г а е т с я в о к р ѳ о т н р о т и т о ч к и |
||||||
2 - З о |
в Р я Д Л о р а н а |
|
|
|
|
|
- 21 -
/\ч ( г ) s- |
|
|
|
|
|
|
|
|
■ . ( n . i ) |
И з р а в е н с т в а ( I I . I ) |
с л е д у е т , ч т о |
|
|
||||||
A ’ ' { £ ) ( Z ’ 2 о . ' * - |
/?-*■ |
* |
? - * « ( * - * > ) + ■ ' . |
||||||
П р и м ен яя с л е в а о п е р а т о р А ( £ ) |
, п о л у ч и м |
|
|||||||
Л |
|
|
|
|
^ |
|
Л ^ + / * ^ Д г ' « ! ) ( І 2 . І ) |
||
Т о ж д е с т в о ( 1 2 . 1 ) в е р н о д л я в с е х з н а ч е н и й £ |
и с е м е й с т в о |
||||||||
д A~r=C d |
. |
П о л а г а я в |
( 1 2 . 1 ) |
2 =■ і о |
, мы |
п о л у ч а е м , ч т о |
|||
|
|
A ( i o ) F - k . — |
О |
|
|
( І З . І ) |
|||
П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м т е п е р ь л е в у ю ч а с т ь т о ж д е с т в а ( 1 2 Л ) : |
|||||||||
5і |
( а А~'(г-2и) “) *■ |
а '(t) (*''С*)(*-Ъ)к)+ |
|||||||
* А J7 ( А-'{1-*0 К) . |
|
|
|||||||
П о л а г а я |
? |
=■ |
2с> , |
мы |
п о л у ч и м |
при |
t 7 4 |
|
|
О |
- |
|
А 1( 2о) |
R-K + |
А R-K.+ і |
к > с ' . т о г д а |
|||
П у с т ь т е п е р ь |
С |
- н а т у р а л ь н о е ч и с л о и |
- 22 -
р а с к р ы в а я по ф о р м у л е Л е й б н и ц а 1 - ю п р о и з в о д н у ю ф ун к ц и и |
|
А |
* , мы п о л у ч и м |
J _ C
d Ъ-с ( А А - ' а - ѵ П . ^ |
С / ^ Ъ ~ ( А - Ь - Ъ ) ‘ ) й ц л ) |
||||||
что |
П о л а г а я т е п е р ь в т о ж д е с т в е ( № . І ) |
і - Ъ о |
п о л у ч а е м , |
||||
|
|
г }, |
|
|
|
|
|
‘ |
.сг ! |
А |
(?„) Р - к -f |
^ |
|
|
|
) я0 |
0 ■ |
|
|
|
} |
|
|
|
Р а в е н с т в а ( 1 5 . 1 ) д л я і |
~ 0 k - d . |
у д о б н о з а п и с а т ь |
в в и д е п р о и з в е д е н и я д в у х о п е р а т о р н о з н а ч н ы х м а т р и ц
Р- і |
( И . І ) |
О
?О
о
( * - • < ) А у V
г д е А ^ Ateo) J |
а |
'А |
А !(го) и т . д . и |
- |
2 |
3 |
- |
f |
0 |
0 |
\ |
^ ' |
■ ■ - |
- |
- н у л е в о й о п е р а т о р . |
V0 - |
|
0 ) |
О п е р а т о р н о е с о о т н о ш е н и е ( 1 6 . 1 ) о з н а ч а е т , ч т о о п е р а т о р ы
£_)с , Р - к и , . . . . , R - i
т а к о в ы , ч т о о п е р а т о р н а я м а т р и ц а
А
А ' А
О6 -*-) •' А
я в л я е т е # а н н у л я т о р о м д л я н и х . О т сю д а и и з ф р е д г о л ь ы о в о с т и
о п е р а т о р а с л е д у е т , ч т о о п е р а т о р ы R _ * |
R .. ± |
||
с у т ь к о н еч н о м ер н ы е |
о п е р а т о р ы , в са м о м д е л е |
и з (16 .I) с л е д у е т , |
|
ч т о о п е р а т о р ы |
А |
о б р а з у ю т к о м п л е к с |
|
і
>
с л е д о в а т е л ь н о >
- 24 -