Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 90

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

О б о з н а ч и м ч е р е з j c [ t )

э л ем ен т ы

( 9 . 1 )

4 і ф

=

( ъ ) < c i t o )

Т о г д а э л е м е н т

/

м ож ет

бы ть п р е д с т а в л е н

в в и д е суммы

j = - 1 +d*>) I-(ъ)

 

П о д с т а в л я я т е п е р ь

с=і

 

1

/

в и с х о д н о е

 

н ай д ен н ы е в ы р аж ен и я для

у р а в н е н и е ( 8 . 1 ) , п о л у ч и м

 

 

 

 

 

у-

*t-

 

 

 

^

 

 

или ^с

у ч е т о м

( 9 . 1 )

 

 

 

с =I

 

 

 

It-

 

 

 

 

21

 

 

Zас(it)<(**)&■№=■ О

(юл)

t-ч

Р а з л а г а я т е п е р ь в е к т о р а

 

 

 

К ( і а ) f c ( z - )

п о О а з и с у

п р о с т р а н с т в а

р к

 

 

 

 

 

 

 

К(г0)£ ( Ъ)

to e (.Ъ) е ,с (іа )

 

 

и п о д с т а в л я я э т о р а з л о ж е н и е в ( Ю Л ) мы п о л у ч а е м , ч т о

к-

 

 

^

 

 

 

 

21 Лс(^о)

(і.а)-f

Г £

<tt'(i.)Y- (зЛе у, х

0

t=l

 

'

Сч

*-/

L

' OuU^)tK

=

- 20 -


После приведения

подобных чл ен о в, иы

в и д и м , ч т о

Г

 

 

^ ( » и Сів) f

Г,

«V Ш f a (г)) е* (го) «= о .

И з л и н е й н о й н е з а в и с и м о с т и в е к т о р о в

*Ѵ с л е д у е т ,ч т о

ч и с л а a L k . ( l t )

у д о в л е т в о р я ю т сл ед ую щ ей с и с т е м е л и н ей н ы х а л г е ­

б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й

к ,

 

 

 

 

<^к.[2о) +

Z2 °Ѵ(2в) Хсѵі(Ъ)— О

 

i~t

 

Н е т р и в и а л ь н о е р еш ен и е э т о й с и с т е м ы б у д е т в т о м и т о л ь к о

в т о м с л у ч а е , е с л и в к а к о й - л и б о т о ч к е о п р е д е л и т е л ь э т о й с и с т е м ы

Jli i -tХек С У )

о б р а т и т ь с я в н у л ь . Э т о т д е т е р м и н а н т , к о то р ы й е с т е с т в е н н о н а з ­

в а т ь д е т е р м и н а н т о м

 

Ф р е д г о л ь м а с е м е й с т в а ( 4 . 1 ) я в л я е т с я по

п о с т р о е н и ю а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й і

, а .с л е д о в а т е л ь н о ^ м ож ет

о б р а щ а т ь с я

в

н у л ь

н а

к о н е ч н о й

п л о с к о с т и лиш ь в

и з о л и р о в а н н ы х

т о ч к а х . Эти м

д о к а з а н о ,

ч т о с е м е й с т в о

( 4 . 1 )

м ер о м о р ф н о о б р а т и м о .

Д о к а ж е м т е п е р ь в т о р у ю ч а с т ь т е о р е м ы - к о н е ч н о м е р н о с т ь

о п е р а т о р о в ,

 

с т о я щ и х

при

о т р и ц а т е л ь н ы х с т е п е н я х

в л ѳ р а н о в с к о м

р а з л о ж е н и и м ер о м о р ф н о й ф у н к ц и и

/ r W

в о к р е с т н о с т и к а к о г о -

л и б о п о л ю с а .

2 = і ц

-

полю с п о р я д к а

 

о п е р а т о р н о а н а ч н о й

П у с т ь

 

К > 0

ф у н к ц и и

 

 

. Т о г д а о н а р а з л а г а е т с я в о к р ѳ о т н р о т и т о ч к и

2 - З о

в Р я Д Л о р а н а

 

 

 

 

 

- 21 -


/\ч ( г ) s-

 

 

 

 

 

 

 

 

■ . ( n . i )

И з р а в е н с т в а ( I I . I )

с л е д у е т , ч т о

 

 

A ’ ' { £ ) ( Z ’ 2 о . ' * -

/?-*■

*

? - * « ( * - * > ) + ■ ' .

П р и м ен яя с л е в а о п е р а т о р А ( £ )

, п о л у ч и м

 

Л

 

 

 

 

^

 

Л ^ + / * ^ Д г ' « ! ) ( І 2 . І )

Т о ж д е с т в о ( 1 2 . 1 ) в е р н о д л я в с е х з н а ч е н и й £

и с е м е й с т в о

д A~r=C d

.

П о л а г а я в

( 1 2 . 1 )

2 =■ і о

, мы

п о л у ч а е м , ч т о

 

 

A ( i o ) F - k .

О

 

 

( І З . І )

П р о д и ф ф е р е н ц и р у е м т е п е р ь л е в у ю ч а с т ь т о ж д е с т в а ( 1 2 Л ) :

5і

( а А~'(г-2и) “) *■

а '(t) (*''С*)(*-Ъ)к)+

* А J7 ( А-'{1-*0 К) .

 

 

П о л а г а я

?

=■

2с> ,

мы

п о л у ч и м

при

t 7 4

 

О

-

 

А 1( 2о)

R-K +

А R-K.+ і

к > с ' . т о г д а

П у с т ь т е п е р ь

С

- н а т у р а л ь н о е ч и с л о и

- 22 -


р а с к р ы в а я по ф о р м у л е Л е й б н и ц а 1 - ю п р о и з в о д н у ю ф ун к ц и и

А

* , мы п о л у ч и м

J _ C

d Ъ-с ( А А - ' а - ѵ П . ^

С / ^ Ъ ~ ( А - Ь - Ъ ) ‘ ) й ц л )

что

П о л а г а я т е п е р ь в т о ж д е с т в е ( № . І )

і - Ъ о

п о л у ч а е м ,

 

 

г },

 

 

 

 

.сг !

А

(?„) Р - к -f

^

 

 

) я0

0

 

 

 

}

 

 

 

Р а в е н с т в а ( 1 5 . 1 ) д л я і

~ 0 k - d .

у д о б н о з а п и с а т ь

в в и д е п р о и з в е д е н и я д в у х о п е р а т о р н о з н а ч н ы х м а т р и ц

Р- і

( И . І )

О

о

( * - • < ) А у V

г д е А ^ Ateo) J

а

А !(го) и т . д . и

-

2

3

-

f

0

0

\

^ '

■ ■ -

-

- н у л е в о й о п е р а т о р .

V0 -

 

0 )

О п е р а т о р н о е с о о т н о ш е н и е ( 1 6 . 1 ) о з н а ч а е т , ч т о о п е р а т о р ы

£_)с , Р - к и , . . . . , R - i

т а к о в ы , ч т о о п е р а т о р н а я м а т р и ц а

А

А ' А

О6 -*-) •' А

я в л я е т е # а н н у л я т о р о м д л я н и х . О т сю д а и и з ф р е д г о л ь ы о в о с т и

о п е р а т о р а с л е д у е т , ч т о о п е р а т о р ы R _ *

R .. ±

с у т ь к о н еч н о м ер н ы е

о п е р а т о р ы , в са м о м д е л е

и з (16 .I) с л е д у е т ,

ч т о о п е р а т о р ы

А

о б р а з у ю т к о м п л е к с

 

і

>

с л е д о в а т е л ь н о >

- 24 -