Файл: Лукьянов, П. И. Аппараты с движущимся зернистым слоем. Теория и расчет.pdf

Для несвязных сыпучих сред (Я = 0) условие (21) принимает вид

При ф = 0

°і —2 аз = с.

Спомощью круга Мора определяют направление площадки сдвига, если известно направление площадки, по которой дей­ ствует главное напряжение. Например, если главное напряже-

Рис. 31. Касательная к круговому графику напряжений как ха­ рактеристика предель­ ного состояния по прочности при трех­

осном сжатии

ние а 1 действует по площадке, имеющей направление I—/ (рис. 32), то для нахождения площадок сдвига на круге напря­ жений проводят прямую, параллельную I— I до пересечения

ствует перемещению полюса Р в точку Р ', направление главных площадок в момент разрушения будет 2 и 4, а направление пло­ щадок сдвига — 1 и 3.

Если сопротивление на сдвиг определяют на срезных прибо­ рах, когда горизонтальна плоскость сдвига, а не плоскость мак­ симальных нормальных напряжений, то при построении круга напряжений и нахождении полюса Р проводят горизонтальную линию МР, определяя направление 2 и 4 главных площадок и направление 1 площадки сдвига (рис. 33).

Аналитический метод определения угла наклона площадок сдвига основывается на том, что касательные напряжения по всей <

56

поверхности сдвига равны или несколько больше сил внутреннего трения. После нарушения равновесия движение происходит

Рис. 32. Схемы к определению направлений площадок сдвига при помощи кру­ гов Мора (А —А и А '—А ' — семейства поверхностей скольжения)

безостановочно с постоянной скоростью без дальнейшего увели­ чения напряжения. Такое движение, называемое пластическим деформированием, развивается по

достигает критического значения, определяемого общим условием равновесия

На всех других сечениях, проходящих через данную точку, равновесие может быть устойчивым.

57

Для определения угла &0наклона опасного сечения (рис. 34) используют общее правило нахождения экстремального значе­ ния функции

d (tg Ѳ) da

Так как

мулы (25), получим выражение для определения наибольшего угла отклонения Ѳтах на поверхности сдвига в состоянии предель­ ного равновесия

Используя условие (23), из формулы (26) получим следующие выражения:

в случае активного давления, когда а х > а 3(рис. 35, а)

‘8’ (-Т + ! ) > '

и следовательно,

в случае пассивного сопротивления, когда а 3> о г (рис. 35, б)

Тз

и

58

Гипотеза прочности Мора (как и гипотеза наибольших главных напряжений) учитывает только два из трех главных напряжений. Предполагают, что среднее по величине главное напряжение о 2 не влияет на предел прочности.

Результаты многих экспериментов в основном подтверждают эту гипотезу, хотя возможность уточнения критерия прочности на основе других гипотез не исключается. В частности, много внимания уделялось применению к грунтам условия прочности Губера—Мизеса, согласно которому критерием перехода к пла­

Рис. 35. Предельное равновесие сыпучей среды:

стическому деформированию является накопление в единице объема тела предельного количества потенциальной энергии упру­ гого формоизменения

А = [К - а2)2+(о1—о8)2+ (о2—о3)2].

Применяя это выражение к случают действия продольной силы (ох — ар; сг2 = о3 = 0), получают следующее выражение упругой энергии формоизменения:

А =

Поэтому общее условие прочности, выраженное через предел пропорциональности ор, имеет вид

( о 1— оу)2 + (о2 о3)2 + (о8 — Оі)2 < 2Op.

Если за направление координат принимают направления глав- V ных напряжений оу, о 2 и о3, то октаэдрические напряжения по площадке, нормаль к которой образует равные углы с направле-

59

ниями координат (площадке октаэдра), определяются выраже­ ниями:

В теории пластичности принимают не октаэдрическое каса­ тельное напряжение т0КТ и октаэдрическую деформацию сдвига £ окт, а прямо пропорциональные им величины: интенсив­ ность касательных напряжений

и интенсивность деформации сдвига

Ех = У 4 “ К«і—ег)2+ (Ч —е3)а+ (е8—exf ,

где е1г е2, е3— главные деформации. При этом

Сравнение критериев прочности Мора и Губер—Мизеса для случая плоского напряженного состояния (сх3 = 0) при оу = 0 приводит к следующим выражениям:

по Мору

Следовательно, величина ар, определяемая по формуле (27), несколько больше определяемой по формуле (28).

По теории Губер—Мизеса предельная поверхность / (аъ а 2, а3) = 0, на границе которой появляется пластическая деформа­ ция, представляет собой поверхность кругового цилиндра. Ось этого цилиндра наклонена под одинаковыми углами к направле­ ниям координатных осей оу, сг2> °з- По теории Мора предельной поверхностью является правильная шестигранная призма, ось которой также составляет с координатными осями равные углы.

60

Октаэдрическое напряжение т0КТ мало отличается от макси­ мального касательного напряжения ттах, причем их отношение изменяется в пределах

0,94] > JÜ2ÜL > 0,816.

°т а х

Исходя из представления о напряженном состоянии на окта­ эдрической площадке, А. И. Боткин составил новое условие проч­ ности, согласно которому пластическое деформирование мате­ риала начинается с момента, когда т0КТ составляет некоторую вполне определенную для данного материала долю tg срокт от

о = — (оу + сг2+ сг3) на той же октаэдрической площадке. Для несвязных сыпучих материалов

токт «£ tg ера и для связных сыпучих сред

^ 8 Фокт С окт)»

где Сокт •— сцепление на октаэдрической площадке; tg фокт — коэффициент внутреннего трения на октаэдрической площадке.

Предельное напряженное состояние сыпучей среды наступает при максимальном значении функции

0 + Я -

В общем случае пространственного напряженного состояния связной сыпучей среды

где

Н^ 0КТ *-t§ Фокт-

М. В. Малышев показал, что условие прочности Губера— Мизеса—Боткина для сыпучих грунтов применять не следует.

Изменение порозности слоя при сдвиговых деформациях* Критическая порозность

Критическое напряжение сдвига зависит не только от нормаль­ ного напряжения, но и от плотности зернистого слоя, его пороз­ ности. Сдвиговые деформации в слое, имеющем порозность больше критической (рис. 36, а), вызывают уплотнение среды до «разно­ весного» состояния, при котором порозность слоя становится равной критической. Если порозность слоя меньше некоторой критической величины (рис. 36, б), то при сдвиге происходит разупрочнение сыпучего тела (ДѴ > 0).

61

Критическая плотность слоя, достигаемая после большой сдвиговой деформации, не зависит от начального состояния, в частности, от величины сил сцепления. Поэтому понятие крити­ ческой плотности применимо к массивам квазидискретных твер­

дых тел.

Обобщенное условие прочности сыпучей среды выражается поверхностью, построенной в прямоугольных координатах т—а—е (рис. 37). На этой поверхности отмечена линия 1 крити­ ческой порозности. Если начальная порозность слоя сыпучего материала в сдвиговом приборе больше критической (точка А), то при консолидации этого слоя

под действием постоянного нормального напряжения аппроисхо­ дит уплотнение его до порозности, соответствующей точке В.

Влияние возвратных сдвиговых смещений нагрузочного диска характеризуется графиком на рис. 38. Он построен в плоскости постоянного нормального напряжения, проходящей через точки В и N на рис. 37. Линия CD (см. рис. 38) образована пере­ сечением указанной плоскости с поверхностью прочности Хворслева, а точка С лежит на линии критической порозности. Если начальное состояние сыпучего тела соответствует точке В, то каждое смещение нагрузочного диска вызывает небольшое изме­ нение порозности (BJ). Если возвратные смещения прекращаются в положении G и образец затем подвергается сдвиговой деформа­ ции, порозность слоя снижается (точка С -— состояние разру­ шения). Дальнейшие сдвиги происходят при постоянных значе­ ниях касательного напряжения и порозности слоя. Величина

62