Файл: Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
косинусоиды с длиной полуволны, равной длине стерж ня L. Эта предпосылка позволяет получить решение, результаты которого для стальных стержней незначи тельно отличаются от результатов более точного реше ния [52, 131]: при двусторонней текучести по всей дли не стержня критическая сила завышена на 6,5%; при односторонней текучести это превышение составляет не более 4%. Использование этой предпосылки сущест венно упрощает решение поставленной задачи. Упро щение заключается в замене системы с бесконечным числом степеней свободы системы с одной степенью свободы; следовательно, оказывается возможным рассматривать равновесие половины стержня, отделен ной наиболее нагруженным средним сечением. Во внимание принимается только распределение напряже ний по поперечному сечению в середине длины стержня.
Главный вектор и главный момент эпюры нормаль ных напряжений в среднем сечении относительно оси, проходящей через центр тяжести, определяем из соот ношений:
Рвн = |
j odF; Мт = J ozdF, |
|
(64) |
|
|
|
F |
|
|
где 2 — расстояние |
от |
элементарной |
площадки |
до |
центра тяжести сечения (рис. 44). |
пло |
|||
Интегрирование в |
(64) |
производится |
с учетом |
|
ского распределения деформаций по поперечному сече нию. Обоснованность этой гипотезы для стали общеиз вестна. Рекомендации Европейского комитета по бетону предлагают использовать эту гипотезу и для бетона [31]. В (64) в качестве текущей координаты выбран центральный угол а; через него выражаются элементар ные площадки и для бетона и стали:
dFe = 2R2sin2 ada\ dFCi = 2Rtda. |
(65) |
Толщиной оболочки t пренебрегаем, так как она мала по сравнению с радиусом бетонного ядра. Работа бето на на растяжение не учитывается [ПО].
Для случая двусторонней текучести в среднем сече нии (см. рис. 44) после интегрирования получаем:
ф
„С cos а — cos го
Рвн = 2Rt ат(л — 2Ѳ) — I стт ----------- |
2Rida + |
J cos ß — cos cp
78
Я |
г, |
о о . |
ф і . |
г,„ . о , |
|
С |
Г |
Л COS а —Icos ф, |
|||
+ 1 а®-2/?" sin2 ada — \ |
о® — --- 2R-sin- ada = |
||||
I |
т |
|
,1 |
COS ß—COS фі |
|
ß |
|
|
ß |
|
|
= 2Rt а. |
я (cos ß — cos q>) — (sin ф — ф cos ф) 4~ (sin Ѳ— 0 cos Ѳ) |
||||
|
|
|
cos ß — cos ф |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin3 фх — 3 sin фх -f 3 (фх — я) cos фх — |
||||
+ ~ |
Я2 |
|
COS ß — COS фх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 ß '+ 3 sin ß — 3 (ß — я) cos ß _ |
|||
|
|
|
COS ß — COS фх |
( 66) |
|
|
|
|
* |
||
|
\J |
|
ЦІ |
|
|
|
MB = I |
2CFT R COS a*2Rld<x + |
cos а — cos ф |
||||
j* 2crT |
7 |
|
X |
|||
|
|
|
cos ü — COS ф |
|||
|
|
|
|
|
Ф. |
|
XR cos (x-2Rtda - er® Rcos a-2R2sin2ada -f- | |
er? X |
|||||
|
|
ß |
|
|
ß |
|
|
X |
cos а — cös фі |
|
|
|
|
|
---- --------------R cos a-2R2sin2 ada — |
|
||||
|
|
COS ß — COS фх |
|
|
|
|
= aTR2t |
(ф — sin ф cos ф) — (0 — sin 0 cos 0) |
1 |
л „я |
|||
|
ß— cos ф |
|
|
«n |
<JT ^ |
|
|
|
|
|
12 |
T |
|
|
|
1 |
|
1 |
sin 4ß+3ß |
|
2 sin 2фх — — sin 4фх—Зфх — 2 sin 2ß + |
— |
|||||
X
cos ß — COS фх
.
^
(67)
где Ф, Фх—-центральные углы |
соответственно для стали |
и бетона, характеризующие переход от упру |
|
гой части сечения |
к области текучести; |
ß— центральный угол, характеризующий поло жение нейтральной оси.
Если в (66) и (67) принять 0= 0, то эти формулы оп ределяют главный вектор и главный момент для случая односторонней текучести в сжатой зоне (см.- рис. 44, в).
Учитывая условие совместности деформаций
COS ß — - COS ф і = |
а (c o s ß — c o s ф) |
( 68) |
||
о® |
s® |
F |
2t |
|
и введя обозначения — = t, — = n: — |
= — = u |
|||
oT |
e-г |
Fe |
R |
f |
из (66) записываем
a- R2 =сгт X
79
Х ц [ Я (cos ß—cos ф) — (sin ф—ф COS ф)+ (зіп 0—0 cos 0)] + k
+---- [sin3 Фі — 3 sin фі + 3 (ф—я) COS Ф і —sin3 ß + 3n
______________ + 3 sin ß—3 (ß — я) cos ß]_______________
(69)
COS ß — COS Ф
Обозначим в (69) числитель через В, тогда
а*______ В
(70)
ar cos ß — cos ф ’
Уравнением (70) определяется продольная сила на вне- центренно-сжатый трубобетонный стержень через пара метры напряженного состояния среднего сечения.
Установим связь между длиной стержня и парамет рами ß, cp, ф], 0. Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Предполагаем справедливым приближенное вы ражение для кривизны:
L = _^M |
(71) |
|
р |
dx2 |
|
Такое упрощение при расчете устойчивости стержней допустимо. Это показано в ряде работ, в частности в [108]. Выражаем кривизну через краевые дефор мации:
1 |
83 “р 8f |
(JT |
(72) |
|
р = |
2R |
Ес ’ |
||
|
где с — величина упругой зоны сечения.
Уравнение изогнутой оси стержня записываем в виде
|
лх |
(73) |
у = / cos — , |
||
где X , у — координаты точки центральной |
оси; |
|
f — максимальный прогиб. |
|
|
Решая (71) с учетом |
(73) и сравнивая |
его с (72), |
имеем при х=0: |
|
|
г, |
я2£г |
(74) |
L2 |
= ----fc. |
|
|
Qf |
|
Условия равновесия половины стержня, отделенной средним сечением, дают
Р = Еви; Мви — Р(е+[). |
(75) |
Влияние касательных напряжений, как незначительное,
80
не учитываем [11]. Из (75) находим .прогиб среднего сечения:
Мвн |
е, |
(76) |
|
р |
|||
|
|
где е — концевой эксцентрицитет.
Из (74) и (76) получаем условие равновесия изогну
той формы |
стержня |
с учетом |
развития |
пластических |
||||||
деформаций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л 2 Е /Маи (ß, ф, фі, |
Ѳ) |
R (cos ß — cos cp). |
(77) |
||||||
|
СТт |
V |
|
Р |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя |
(69) в |
|
(77), |
после |
преобразований |
имеем |
||||
L V |
я2£ |
( |
о* |
|
„ , |
о* |
|
(78) |
||
— |
= ----- |
\ |
А — — |
т cos ß + |
— т cos cp |
|||||
R ) |
а* |
oT |
|
|
0T |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~R' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
— |
j.t f(cp — sin cp cos cp) —(Ѳ—sin Ѳ cos 0)]— • |
|
|||||||
1 |
k |
I |
|
1 |
sin cpx — |
3 cp x — |
sin2 2ß + |
|
||
— — |
• — |
sin2 2 c p i — — |
|
|||||||
12 |
n |
V |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
~ ~ sin 4ß + 3ßj . |
|
|
(79) |
|||
Далее, находим условие критического состояния стержня. Для этого в выражении (73) исследуем функ цию (80):
I |
а * |
о * |
\ |
(80) |
U = ІА — — |
т cos ß4------т cos cp |
|||
\ |
огт |
0т |
/ |
|
на условный экстремум с помощью метода неопределен ных множителей Лагранжа; а* считается заданным.
В качестве дополнительных условий связи перемен ных используем (68) и (70):
Фг = cos ß — cos cpi — «(cos ß — cos cp) = 0; |
(81) |
||
В (ß, cp, cp-, 0) |
о* |
=0. |
(82) |
Ф« = — „ |
0X |
||
cos ß — cos cp |
|
|
|
Третье уравнение связи получаем из условия равен ства высот упругой зоны с в растянутой и сжатой части сечения (см. рис. 44, б):
Фз = 2cos ß — cos cp — cos 0 = 0 |
(83) |
6— 847 |
81 |