Файл: Бовбель, Е. И. Элементы теории информации.pdf

В предположении, что распределения вероятностей сиг­ нала x(t) и шума n(t) нормальны, энтропия ti\=2dfT независимых отсчетов сигнала у(і), взятых по теореме Котельникова,

H {df)(Y) =* 2d/Г log \/2Vea{df) =

тете ростом спектральной плотности мощности передава­ емого сигнала х(і) и убывает с увеличением спектраль­ ной плотности мощности шумов.

Задача 1. Используя формулу (5.13), вычислить ско­

102

Подставляя (5.15) и (5.16) в (5.14), получаем

Т = u 7 io g (i + - £ - l

Задача 2. При заданных спектральной плотности мощ­

[5,(01 = f log§ л л ± М І І df

S„U)

при дополнительном условии

Если соотношение (5.20) выполняется, то говорят, что сигнал согласован с помехой.

103

П Р И Л О Ж Е Н И Я

1. Модель сигналов по Котельникову

Решение задач теории информации существенно упро­ щается, если представить сигнал x(t) счетным множест­ вом некоторых чисел х'ь’Для такого представления выби­ рают систему функций {%(/)) такую, что

в котором коэффициенты разложения являются числами

известным рядом Фурье, рядом Котельникова (см. ниже) и т. д.

Модель Котельникова позволяет существенно упрос­ тить определение коэффициентов х&- После соответству­ ющего выбора совокупности ортонормированных функций {<?*(£)} коэффициенты будут просто определяться зна­ чениями x(t) в некоторые моменты времени.

Теорема. Произвольная функция x(t), имеющая преоб­ разование Фурье, ограниченное полосой частот W, можетбыть тождественно представлена счетным числом отсче­

тов, взятых через интервалы времени А / ==~^г-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Функцию x(f), найденную пу­ тем обратного преобразования Фурье,

‘ 104

'2- \F

• x ( t ) = ± - j' x ^ ) e i m t d ü), (4>

—2-V

определим для дискретных моментов времени, равных

t = к = ± 1, ± 2, ± 3, ...» (5)‘

и расположенных последовательно на оси времени через

Тогда

Поскольку по условию теоремы спектр Фурье задан на конечном отрезке (—2^W1 2nW), он может быть раз­ ложен в ряд Фурье

' Подставляя *(10) в (8), получаем

Іі=—00

Это значение спектра подставим в (4):

105.

Таким образом, произвольная функция x(t), имеющая ограниченный спектр, может быть представлена в виде ряда Котельникова:

sin 2г. Wit — 2\Ѵ

2г. W it — 2W

где Xk = — отсчеты функции x(t) в моменты вре­

мени k/2W. Простым интегрированием легко проверить, что функции отсчетов

sin 2т, W

(О

2к W

ортонормированье т. е. удовлетворяют условию (2).

произвольной линейной системы на входной сигнал в ви­ де о (t) определяется по формуле

_ і_

4 0 6

Таким образом, функцию времени (13) можно рас­ сматривать как реакцию фильтра с частотной характери­ стикой (15) на совокупность дельта-функций с площадя­ ми, равными отсчетам исходного сигнала x(k/2W) и сле­ дующими друг за другом через промежутки времени

лярной функцией времени

График |1К( ш) I пред­ ставлен на рис. 7. Так как функция | Х ( ш) | . имеет неограниченный спектр, теорема Котельникова не­ применима. Однако если ограничиться полосой W0 (см. рис. 7), погрешность

в определении энергии бу­ дет равна