Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

ВОЕННО-МОРСКАЯ орденов ЛЕНИНА

и УШАКОВА АКАДЕМИЯ

V

'В. С. БОЛДЫРЕВ

і

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ВГИДРОГРАФИИ

ИКОРАБЛЕВОЖДЕНИИ

ЛЕНИНГРАД

1 9 7 4

/

+

■%

ВОЕННО-МОРСКАЯ орденов ЛЕНИНА н УШАКОВА АКАДЕМ И Я

Кандидат технических наук доцент В. С. БОЛДЫРЕВ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ВГИДРОГРАФИИ

ИКОРАБЛЕВОЖДЕНИИ

ЛЕНИНГРАД

на этих измерениях вычислений. В ТУШ веке изучением ошибок измерений занимались такие крупные ученые, как Бернулли » Лагранж и затем на рубеже ХУШ и XIX столетий - Лежандр, Лаплас и Гаусс.

А.Лежандр в 1806 г . опубликовал статью, в которой чисто алгебраическим путем развернул основные положения

ния значений неизвестных по уравнениям ошибок

при условии наименьшего значения наибольшего по абсолют­

т .е . формулу нормального распределения.

При этом он исходил из следующих положений:

- вероятнейшим значением многократно измеренной ве­

личины при любом числе измерений является арифметичес­ кая середина;

и

- до измерения все гипотезы о неизвестной велиииие равновероятны.

Б IRI2 г . Лаплас в фундаментальном трактате но теории вероятностей показал, что наилучшим значением линейной функции измеренных величин будет то, которое находится по методу наименьших квадратов. Это значение обладает наибольшим весом.

л ТП2Т г . Гаусс опубликовал другое обоснование спосо­ ба наименьших квадратов. Он исходил из условия, что для случайной ошибки Л

М( Л ) = 0 ,

ииз требования, чтобы окончательное значение искомой

величины обладало наименьшим значением интеграла

-г х э

т.е . квадрата средней квадратичен#;’, ошибки.

В1841 г . при помощи метод« наименьших квадратов Бессель произв- л ов»а#«тку результатов европейской триангуляционной сети и получил размеры полуосей' зем­ ного эллипсоид«, мт«рме в течение ICO лет использова­

лись в нишей строке. Дальнейшие важные результаты были получены в теории метода наименьших квадратов в 1859 г. П.Л.чебышевым, разработавшим теории интерполирования по ѵетвду наименьших квадратов с помощью ортогональных полиномов, носящих его иѵя. '-.А.Барков в . іяор г . в ра­ боте "Закон больших чисел и метод наименьших квадра­

тов" внес в математическую статистику ряд весьма важных идей, пояснивших суть метода наименьших квадратов.После работ Баркова с двадцатых годов нынешнего века метод наименьших квадратов включен в математическую статисти­ ку как ватная и естественная часть теории оценивания параметров.

5

Внастоящее время в области математической статистики

иприменения вероятностных методов для обработки резуль­ татов измерений работают крупнейшие советские ученые, такие, например, как Колмогоров, Линншс и др.

Что касается теории ошибок измерений, то в соответст­

вии с конечной целью тех или иных изысканий необходимо заранее рассчитать точность потребных для этей цели,

проектной, то такая геодезическая работа непригодна для использования. Если геодезическая сеть окажется точнее, чем нужно, то будут затрачены излияние силы, средства и время. Все это ставит достаточно сложив задачи как перед непосредственными исполнителями, так и перед руководителями соответствующих работ. Особое

значение перечисленные полокимя имеют нри ограниченном времени и средствах, выделенных для производства работ.

В области гидрографии и океанографии наиболее из­ вестные работы по математической статистике принадлежат известным ученым В.В.Каврайскому, А.П.СЦенко и др., Фундаментальные труды которых положены в основу боль­ шинства современных методов производства гидрографичес­ ких и океанографических работ. Следует заметить, что до самого последнего времени в практике гидрографии и океанографии рассматривались только случайные величины, причем, как правило, только независимые случайные ве­ личины. Однако оказалось, что такой аппарат не позволя­ ет объяснить ряд закономерностей, встречающихся в прак­ тике, и в ряде случаев ведет к ошибочным выводам. Ваиболее яркий пример в данной области относится к погреш­

ностям навигационных приборов. Если считать, что пягреш-

6

нисть курсиуказателя - случайная величина, то для оценки ошибки счисления в боковом направлении следует пользо­ ваться формулой

не встречаются. Это позволяет сделать заключение о том, что ошибка курсоуказателя является не случайной величи­ ной, а должна быть охарактеризована с помощью другой зависимости. Специально поставленные опыты подтвердил" это положение и в результате оказалось, что в самом общем случае погрешность курсоуказателя - случайная функция времени. Это обстоятельство требует применения иных правил и своеобразного математического аппарата. Б частности при решении указанной выше задачи по оценке точности счисления получается формула

Как видим, зависимости ошибок счисления от времени, вычисленные по обеим формулам, имеют существенное раз­ личие. Приведенный пример показывает, что даже в срав­ нительно простом случае правильный выбор аппарата ис­ следования позволяет получить более достоверные резуль­ таты. Особое значение аппарат теории случайных Функций имеет для океанографии, где большинство изучаемых эле­ ментов, характеризующих среду или взаимодействие среды и подвижного объекта, весьма существенно изменяются во времени или пространстве. К таким характеристикам пол­ ностью относятся скорость и направление течения,ордина­ та взволнованной поверхности моря, температура, соле­

7

ность и плотность морской воды в некоторой точке и мно­ жество других. Л настоящее время современный и весьма мощный аппарат теории случайных функций завоевывает все большее признание и дает исследователю возможность получить решение ряда важных задач, которые до этого либо решались очень приближенно, либо не решались вовсе. К таким задачам относятся задачи по выделению полезного сигнала на фоне помех, выделению периодической состав­ ляющей незакономерно изменяющейся непрерывной величины, определение времени старения информации об изменяющемся элементе, определение интервала дискретности при измере­ нии некоторой непрерывной величины, интерполяция и экстраполяция непрерывных случайных величин и другие, на которых мы пока останавливаться не будем.

О Другой стороны в практике океанографии и метеоро­ логии все время продолжает накапливаться огромное ко­ личество разовых наблюдений, большинство которых основа­ но на показаниях приборов и выражается численно.Целью таких наблюдений наряду с установлением закономернос­ тей различных явлений и их прогнозированием на некото­ рый срок вперед является получение сведений о некоторых устойчивых характеристиках. На первый взгляд, кажется, что такими устойчивыми характеристиками могут быть средние значения данного элемента, которые легко по­ лучить из результатов наблюдений. Однако недостаточно обоснованные приемы обработки могут привести к ложным выводам. Одна из задач данного курса - показ рациональ­ ных приемов при анализе рядов наблюдений и возможнос­ тей использования результатов такого анализа для от­ вета на различные вопросы, возникающие в ходе навига­ ционно-гидрографического и гидрометеоцологическэго обеспечения, а также в ходе океанографических и гидрв-

Я