Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Примечания к главе VI

В качестве основных источников см. [2], гл. 16— 18 и [6].

§ 2. Утверждение о том, что г ( п ) = 0 ( п г) для каждого е > 0 , эквивалентно утверждению, что r(ri)— o(n&) для каждого е > 0 .

Относительно теоремы 1 см. Gauss С. F., Werke, II, S. 272—275.

§ 3. Относительно теоремы 6 см. Полна Г. и Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, ГИТТЛ, М., 1956, II, стр. 177, 413.

Относительно теорем 5 и 6 см. Харди и Райт [2], стр. 259. Теорема 9 была доказана Дирихле в 1849 г. (см. Dirichlet Р. G..L.,

Werke, II, 49—66).

Улучшение Г. Ф. Вороным остаточного члена приведено в Ann. Sci. E cole Norm. Sup. (3), 21 (1904), 207—267; 459—533.

Утверждение о том, что остаточный член не может быть О (У1/*1),

было доказано Харди (Hardy G. Н., Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 192—213).

§4. Относительно истории чисел Мерсенна и совершенных чисел см. Диксон [1], I, гл. 1—2.

§5. Относительно теорем 15 и 19 см. Mobius A. F., J. fiir die

§ 6. Относительно теоремы 20 см. Ландау [4], § 59. Теорема 22

принадлежит Мертенсу (Mertens F., J. fiir die reine und angew andte Math., 77 (1874), 290—291). См. также Ландау [4], § 152.

см., например, Knopp К-, Theory and application of infinite series, 1951, p. 237, 323, 376.

Примечания к главе VII

В качестве основных источников см. [3], гл. 1 и [4], § 12—28.

§ 1. Относительно теоремы 1 см. Euler L., Opera Omnia, Leip- zig-Berlin-Ziirich (1), 8, § 279; (1), 14, 216—244.

§ 2. Теорема 3 принадлежит Чебышеву; см. Чебышев П. Л., Соб­ рание сочинений, т. I, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1944, стр. 191—207,

§ 5. Теорема 8 принадлежит Мертенсу (Mertens F., J. fur die reine und angew andte Math., 78 (1874), 46—62). См. также книгу Инга­

М., 1961.)

§5. Кронекер доказал свою теорему в Berliner Sitzungsberichte

(1884); см. также Kronecker L., Werke, Leipzig, Teubner, III (I), 47—

ПО. Относительно дальнейших достижений см. Koksma J. F.,

Diophantische Approximalionen, E rgebnisse der Math., Bd. IV, Heft 4 (1937).

Доказательство Бора (Bohr H.) теоремы 8 дано в J. London Math. Soc., 9 (1934), 5—6. См. также Харди и Райт [2], гл. 23.

Примечания к главе IX

В качестве основных источников см. Minkowski Н., Geometrie der Zahlen, 1st edition, 1896, и Diophantische Approximationen, 1927. Cm. также Siegel C. L., Geometry of numbers, New York University, 1945.

§ 2. Теорема 1 справедлива без предположения об ограниченно­ сти множества S. Действительно, если оно не ограничено и имеет ме­

= S f ) K м будет ограниченным множеством, удовлетворяющим тре­ буемым условиям в силу счетной аддитивности меры Лебега.

Мы не стремились к рассмотрению оптимальных предположений, поскольку не желали углубляться в вопросы измеримости. Формули­ ровка и доказательство теоремы 3 продиктованы этими соображе- , ниями.

Минковский доказал теорему 3 в 1891 г.; см. его Gesammelte Abhandlungen, I, S. 264.

182 Примечания

Доказательство формулы Зигеля (8) дано им в Acta Math., 65 (1935), 307—323.

Лемма, которая расположена между теоремами 2 и 3, принадле­ жит Г. Д. Биркгофу, как это установил Бликфельдт (Blichfeldt, Trans. Amer. Math. Soc., 15 (1914)). См. также приложение в книге Касселса (loc. cit., примечания к гл. V III).

В теореме 2 мы использовали тот факт, что замкнутое множест­ во в R n измеримо по Лебегу.

Минковский (loc. cit.) показал, что ограниченное выпуклое мно­

(Blaschke W., Kreis und Kugel, Leipzig, 1916, 57; русский перевод:

Бляшке В., Круг и шар, «Наука», М., 1967) -

Если выпуклое множество S имеет меру Лебега V ( S ) ,0 < K ( S ) < < о о , то оно ограничено. См. Cassels J. W. S., An introduction to the geometry of numbers, Springer, 1959, p. 109; русский перевод: Кас­ селе Дж. В. С., Введение в геометрию чисел, ИЛ, М., 1965.

Примечания к главе X

В качестве основных источников см. Ландау [4], § 95— 103. См.

также Siegel К- L., Lectures on analytic number theory, New York University, 1945.

§ 5. Основная теорема этой главы, а именно теорема 8, была впервые доказана Дирихле в 1837 г., см. его Werke, I, 307—342. Элементарное доказательство было дано Мертенсом (Mertens F„

Wiener Sitzungsberichte, 106 (1897), 254—286). Новое элементарное доказательство было предложено Сельбергом (Selberg A., Annals of Math. (2), 50 (1949), 297— 304; Canadian J. of Math., 2 (1950), 66— 78). Другое элементарное доказательство дал Цассенхаус (Zassenhaus Н., Comm. Math. Helvetici, 22 (1949), 232—259).

Примечания к главе XI

В качестве основных источников см. Ландау [4], включая при­ ложение П. Т. Бейтмана, стр. 929—931, где дана история доказатель­

нулей С (s) восходит к Риману (Riemann В., Uber die Anzahl der Prim- zahlen unter einer gegebenen Grofie, M onatsberichte der Preuss. Akad.

183—256). Полное изложение классического доказательства см. в кни­ ге Ингама [3], гл. 2.

Cambridge, 1933, § 19 (русский перевод: H. Винер, Интеграл Фурье и его приложения, «Наука», 1963, § 19). Теорема справедлива при бо­ лее слабых предположениях, но для вывода асимптотического зако­ на распределения простых чисел достаточно той формулировки тео­ ремы, которую мы рассмотрели.

Данное здесь доказательство теоремы Винера — Икеары не ис­ пользует общей тауберовой теоремы Винера и по существу является доказательством Бохнера (Bochner S., Math. Zeit., 37 (1933), 1—9),

упрощенным Ландау (Landau Е., Berliner Sitzungsberichte (1932), 514—521) и Бохнером в его Lectures on Fourier Analysis, Princeton University, 1936. Оно дается в том же самом виде, как и в лекциях автора: Lectures on the Riemann zeta-function, Tata Institute of Funda­ mental Research, Bombay, 1953. Элементарное доказательство асимп­ тотического закона распределения простых чисел было дано Сель-

бергом (Selberg A., Annals of Math. (2), 50 (1949), 305— 313).