Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Для ^ > 0 мы имеем

2Л>

—2%

Покажем, что в (11) можно изменить порядок интегри­ рования. Так как А (х) является неубывающей и неот­ рицательной функцией, то при действительных s и х > 0

т. е. А (х) ^Zsf(s)exs. Далее, поскольку f(s) — аналитиче­ ская функция при а > 1 , то A ( x ) = 0 ( e xs) для каждого s > l , а тогда А(х) — o(exs) для каждого s > l . Следова­ тельно, В(х)е~6х =A(x)e~d+6>xz=o( 1) для каждого б> 0 ,

откуда следует, что интеграл

J (В(х) — l)e~lE+it)xdx

О

сходится равномерно в интервале —2X^t^2K . Значит, в (11) можно поменять порядок интегрирования, и мы получим

2Х

—2 %

о

170 Гл. XI. Асимптотический закон

—2X^.t^2X при е-Л). Далее,

существует. Кроме того, поскольку подинтегральная функция неотрицательна и монотонно возрастает при е-»-0, мы имеем

Пусть теперь г/->-оо. Тогда по лемме Римана'—Лебега б левая часть стремится к нулю, в то время как второй член правой части дает

тем самым соотношение (9) доказано.

’> См. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука:

М., 1065, п. 60. — Прим, первв.

Для данных положительных чисел а и Я пусть у~>а/Х. То­ гда, согласно (9), мы имеем

так как подинтегральная функция неотрицательна. Д а­ лее, функция A (u )— B(u)eu является неубывающей.

Значит, при — a ^ .v ^ a

sin2 v Л > < я .

) г ¥ ! v2

Далее, для фиксированных а и Я мы имеем

Нш В {у — а/ X) = lim В (у).

172 Г л. XI. Асимптотический закон

Поэтому

2а а

—а

для всех а > 0, Я > 0 . Пусть теперь а->оо и Х-*-оо таким образом, что а/Х-*-0. Тогда

lim В (у) J1 V2

или

я lim В (у) я.

Итак, неравенство (13) доказано.

Используем теперь неравенство (13) для того, чтобы доказать (14). Из (13) следует, что | 5 (х )| ^ с при под­ ходящей константе с, так что для фиксированных поло­ жительных а и Я и для достаточно больших у мы имеем

Ху

Из (9), (15) и (16) мы получаем

рить другие предположения теоремы 2, ибо функция £(s)

ме 1, g(s) не обращается в нуль в полуплоскости а ^ 1 .

Следовательно, по теореме 2 ф(еж) ~ е х, или ф(х) при х-*-оо, и тем самым асимптотический закон распределе­ ния простых чисел доказан.

Таким образом, асимптотический закон распределе­ ния простых чисел следует из теоремы Винера — Икеары, если мы предположим, что £(l+tY )=^0 для t=£0. Об­ ратно, если мы предположим, что справедлив асимпто­ тический закон распределения простых чисел, то легко

Тогда CD(s) регулярна при а > 0 , за исключением про­ стых полюсов, которые она имеет в точках, являющих- 12—870