Файл: Комов, А. Н. Физические основы микроэлектроники учеб. пособие.pdf

25

Наличие этой вероятности делает возможным прохождение (просачивание) микрочастицы сквозь барьер конечной толщины. Такое просачивание получило название туннельного эффекта.

В соответствии с (1—52) коэффициент прозрачности такого ба­ рьера должен быть равен:

Таблица 2

Из данной таблицы следует, что барьеры атомных толщин име­ ют достаточно высокую прозрачность.

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ЯЩИК КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ

Рассмотрим случай движения электрона в областях I, II и III (рис. 8), когда E>U (слабая связь), т. е. уадбарьерное движение электронов.

Рис. 8. Потенциальный ящик конечной высоты (слабая связь).

Волновые числа частицы имеют следующие значения: для об ластн I, III х ^ О и х > а, 1

V 2т ( £ = 77);

26

до области II

О < X < а,

k . ^ - ^ V 2mË.

Решение задач для потенциальной ямы в случае слабой связи и низкого барьера аналогичны.

В случае E<cU — сильной связи (рис. 9), волновые числа име-

'ют следующие значения: для области I, III

оа

Рис. 9. Потенциальный ящик конечной высоты (сильная связь).

В отличие от случая высокого барьера, для глубокой потенциаль­ ной ямы волновая функция изображается бегущими волнами толь­ ко в области II, тогда как в областях I и III волновая функция изображается экспоненциальными функциями:

ф2 ^ Azeik2x+ B2e -ik2X\ ty3= B se -kx.

§ 8. Линейный гармонический вибратор (осциллятор). Классический вибратор

Атомы в молекулах и кристаллах находятся в связанном состоя­ нии. При смещении атомов из положения равновесия на них дейст­ вуют силы, стремящиеся вернуть их в это положение. При неболь­ ших смещениях х возвращающую силу F можно считать пропор­ циональной смещению:

F (х) = —fx,

27

где / — коэффициент возвращающей силы.

Потенциальная энергия квазиупругого вибратора и==-г>і’х': из­ меняется по параболическому закону (рис. 10).

I, Е 'U

Рис. 10. Энергетический спек і р классическое вибратора.

Рассматриваемая задача является задачей о движении частицы г параболической потенциальной яме. Классическая частица совер­ шает в этом случае гармонические колебания:

28

Подставляя новую переменную в (1—54) и вводя обозначения (1— 55), получим:

Подстановка показывает, что решение этого уравнения можно представить о виде

если U {%) в свою очередь удовлетворяет следующему уравнению

т р - * т г + ( і - 1) £' - ° -

Введем обозначения:-^— 1= 2 п, тогда

U"—21,11' -\-2nU =0.

Е U

Рис. !1. Энергетический спектр квантового гар­ монического вибратора.

29

Формула (1—57) показывает, что энергия квантового вибратора меняется прерывно. Энергетический спектр такого вибратора пока­ зан на рис. 11.

§ 9. Атом водорода

Уравнение Шредингера позволяет успешно решить целый ряд важнейших задач, относящихся не только к отдельным микроча­ стицам, но и к строению атомов, а также к теории твердого тела. С помощью этого уравнения рассмотрим вопрос об электронной обо­ лочке атомов.

Начнем с простейшего случая — с атома водорода. Атом водо­ рода состоит из ядра-протона с зарядом Zq = + q и одного электро­ на с зарядом —q. Если принять ядро за центр координатной систе­ мы, то электрическое ноле будет определяться потенциалом U, рав­ ным

U , (1 -5 8 )

где Z — номер элемента в периодической таблице.

Зависимость потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром показана на рис. 12.

30

.Некоторое занимаемое электроном квантовое состояние харак­ теризуется как волновой функцией, так и энергией электрона Е. Значение волновой функции и уровень энергии, соответствующие различным квантовым состоянием, можно найти, решая волновое уравнение Шредингера. Решения этого уравнения удовлетворяют заданным граничным условиям только в том случае, если энергия имеет одно из вполне определенных значений. Это значение Е на­ зывают собственным значением энергии волнового уравнения; вол­ новую функцию, соответствующую такому выбору Е, называют собственным .значением волновой функции.

Таким образом, каждое квантовое состояние электрона харак­ теризуется определенным собственным значением энергии и опреде­ ленным собственным значением волновой функции. Для нахожде­ ния ф и Ь из уравнения (1—59) целесообразно использовать сфери­ ческую систему координат г, Ѳ и q>, т. к. в него входит г.

Для того, чтобы применить метод разделения переменных, при­ мем

При преобразовании (1—59) воспользуемся известным выраже­ нием для V2 в случае сферической системы координат:

В последнем уравнении переменные Ѵ=Ѵ(г) и У—К(Ѳ, ф) раз­ делены. Для того, чтобы (1—64) выполнялось при любых значе­ ниях г, Ö и ф, необходимо, чтобы правая и левая части равнялись некоторой постоянной к —1(1+ 1). Тогда (1—64) распадается на два уравнения

Решение уравнения (1—66) имеет физический смысл только з том случае, если 1—0, 1. 2, ... Поэтому в (1—65) и (1—66) будем полагать, что / принимает указанные значения. Не останавливаясь подробно на уравнении (1—66), отметим лишь, что его решение может быть представлено как

31