Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Как и в одномерном случае, выполнение неравенства (1.37) можно также обеспечить, если учесть внутренние сопротивления источни­ ков напряжения, либо выделить из нелинейного многополюсника последовательно с его клеммами постоянные резисторы и отнести последние к линейной части цепи.

1.3.СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Вольтамперные характеристики нелинейных цепей

Внастоящей работе значительное внимание уделяется исследо­ ванию цепей, содержащих пассивную нелинейную часть. Пассив­ ность понимается, как и выше для линейных цепей, в энергетичес­ ком смысле.

Подобное ограничение, наложенное на нелинейную часть цепи, позволило заметно продвинуться в изучении качественных и коли­ чественных свойств цепей, о чем свидетельствует материал следую­ щих глав. Несмотря на указанное ограничение, класс исследуемых цепей все еще очень широк. Например, условиям пассивности удов­ летворяют характеристики элементов, входящих в схемы замеще­ ния нелинейных транзисторов, большинства функциональных пре­ образователей, нелинейных усилителей и корректоров, схем выпря­

мителей, детекторов и т, д.

Рассмотрим вначале нелинейный’ резистивный двухполюсник, вольтамперная характеристика которого описывается выражением

Напрашивается определение 'пассивности, которое заключается в требовании неотрицательности мощности на клеммах двухпо­ люсника ui^st0. Это определение оказывается, однако, малосодер­ жательным в приложениях.

18

Более удобным является другое определение, требующее неот­ рицательности мощности в некотором вспомогательном двухполюс­ нике. Пусть заданы две произвольные точки вольтамперной харак­ теристики ul=Kp(ii); «2='ф(\)- Тогда

Рассматриваемый резистивный двухполюсник называется пассив­

Левую часть неравенства (1.40) можно трактовать как мощность, выделяющуюся в некотором вспомогательном двухполюснике, по которому течет ток t'i—ii, вызывающий напряжение ut—и2.

, Нетрудно убедиться в том, что требование (1.40) эквивалентно тому, что вольтамперная характеристика ср(7) должна быть неубы­ вающей. В частности, если ф(i) — дифференцируемая функция, то необходимым и достаточным условием выполнения (1.40) является требование

(1.41)

di

Неравенства (1.40) и (1.41) означают, что вольтамперная характе­ ристика не имеет падающих участков, т. е. участков отрицательно­ го дифференциального сопротивления. Этим и оправдывается для двухполюсника с характеристикой ф(i) термин «пассивный».

а)

‘ 1

В соответствии с определением пассивными являются идеальные (рис. 1.3а) и реальные (рис. 1.36) диоды (последние, в частности, входят в схему замещения транзисторов), нелинейные элементы с насыщением (рис. 1.3е), нелинейные элементы с зоной нечувстви-

19

то ср(7) можно представить в виде y(i) =R+<pi(i), где cpi(t) остает­ ся вольтамперной характеристикой пассивного двухполюсника. Тогда постоянный резистор с сопротивлением R можно отнести к линейной части цепи, что позволит, как уже говорилось в преды­ дущем параграфе, оценить величину а в (1.27).

Переходя к многомерному случаю, рассмотрим нелинейную часть схемы, изображенной на рис. 1.2. Вольтамперные характе­ ристики заданы ур-ниями (1.10).

Рассматриваемый нелинейный многополюсник будем называть пассивным, если для вектор-функции <p(”i) = ('фь срг,..., фп)т. опреде­ ленной в ( 1.10), имеет место следующее неравенство:

всем своим аргументам ii, iz,—, in, то можно показать, что необхо­ димым условием выполнения (1.42) является положительная полуопределенность при любых t'i, iz,—, in матрицы

(1.44)

i=i k=\

Квадратичная форма в левой части (1.44) будет неотрицательной, если матрица (1.43) является положительно полуопределенной.

Иногда правая (нелинейная) часть схемы внутри правого пря­ моугольника на рис. 1.2 состоит из отдельных подсхем, не связан­ ных между собой. Тогда схему, удовлетворяющую условию (1.42),

целесообразнее называть системой пассивных нелинейных много­ полюсников. В дальнейшем мы иногда будем пользоваться этим

120

термином. Важным является тот случай, когда каждый многопо­ люсник системы вырождается в двухполюсник, так что нелинейная подсхема имеет вид, показанный на рис. 1.4. В этом случае каждая, функция ф/г (ii, In) зависит только от k, т. е. превращается в функцию фk(ik) и необходимым и достаточным условием выпол­ нения неравенства (1.42) будет требование неубывания каждой из-- вольтамперных характеристик q>k(ih) (k —l, 2,..., п).

Как уже говорилось, ряд результатов книги относится к це­ пям, характеристики нелинейной части которых в явном виде зави­ сят от времени. В этом случае определение системы пассивных не­ линейных многополюсников сохраняется, только в левой части не­ равенства (1.42) функции фь должны еще явно зависеть от времени.

Назовем нелинейную резистивную цепь системой кусочно-линей­ ных пассивных многополюсников, если имеет место (1.42) и

фь в левой части (1.42) кусочно-дифференцируемы по всем аргу-

дер*

ментам, а все производные —1— являются кусочно-постоянными. dij

Геометрически последняя часть данного определения означает,, что гиперповерхность, описываемая в /г-мерном пространстве функ­ цией фй (ii, iz,---, in) (k—l, 2,..., n), является многогранником. В од­ номерном случае функция ф(Т) должна быть ломаной линией, не­ содержащей линейных звеньев с отрицательным наклоном.

Некоторые энергетические свойства нелинейных цепей

Энергетические свойства цепей прямо или косвенно использу­ ются на протяжении всей книги. Ниже формулируется и доказы­ вается одно довольно общее свойство, позволяющее оценить вели­ чину энергии, потребляемой нелинейной цепью.

Теорема 1.1.

Пусть имеется цепь, содержащая последовательно соединенны­ ми линейный Я, L, С, М двухполюсник с сопротивлением z(p), не­ линейный резистор с вольтамперной характеристикой ф(i), линей­ ный резистор с сопротивлением Я и источник напряжения u(t)r причем:

1)ф(0) =0; k p (i)^ 0 .

2)z(p) есть положительная вещественная функция.

3)| u(t) | ^ t/=comst.

4)Полная энергия, накопленная во всех реактивных элементах

кмоменту t —0, равна W0.

Тогда энергия W(t), отданная в цепь источником напряжения к произвольному моменту £>i0, удовлетворяет неравенству

Прежде чем доказывать теорему, отметим, что она, в частности, охватывает своими условиями цепи, содержащие нелинейные рези­ сторы с неубывающими характеристиками, т. е. по данному выше

21