Файл: Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами.pdf

Тогда

Назовем М(р) = 2 Aite akP экспоненциальным полиномом. Если

будем считать линейным оператором, переводящим Г-периодичес- кую функцию в другую Г-периодическую функцию, связь между которыми определяется с помощью (1.14), если вместо 2ift(i<o) под-

ставить

М (i со)

N (i со)

1.2. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Пассивный линейный многополюсник

Выше мы требовали, чтобы линейная подсхема рис. 1.2 содержа­ ла элементы \R, L, С, М и зависимые источники. В дальнейшем к этой подсхеме будет, как правило, предъявляться еще одно важное требование, а именно, — требование пассивности. При этом пассив­ ность понимается в смысле неотрицательности суммарной энергии на клеммах линейного многополюсника [31]. Математически это требование выражается следующим образом.

Пусть для линейного многополюсника в схеме рис. 1.2 сущест­ вует матрица сопротивлений z(p). Будем говорить, что z(p) есть

матрица сопротивлений пассивного многополюсника, если выполне­ ны следующие условия:

1)Элементы матрицы z(p) есть дробно-рациональные функции, не имеющие полюсов в правой полуплоскости и могущие иметь на мнимой оси только простые полюса.

2)Матрица z(ko)+2(—im)т является положительно полуопределенной эрмитовской матрицей. В случае, если линейный многопо­

13

люсник не содержит зависимых источников, матрица г(р) является симметричной и последнее требование заменяется условием поло­ жительной полуопределенности матрицы Rez(iffi). Этот символ означает матрицу, составленную из вещественных частей элементов матрицы z(ico’).

3) Если k = kij — матрица вычетов элементов матрицы z(p) каком-либо полюсе на мнимой оси, то k должна быть положи­ тельно полуопределенной эрмптовской матрицей.

Напомним, что матрица x = (x ih) с комплексными элементами

называется эрмитовской, если (Xik) = (xui), где хш — величина, со­ пряженная С Xik.

Положительную определенность матрицы можно проверить, на­ пример, с помощью критерия Сильвестра [58].

Если для линейного многополюсника существует матрица про­ водимостей у(р), то определение ее пассивности дословно совпа­ дает с данным выше определением для z(p), если всюду z(p) поме­ нять на у(р).

Частным случаем данного выше определения является опреде­ ление пассивного двухполюсника, когда z(p) — скалярная функ­ ция. Эта функция называется функцией сопротивления (или прово­ димости) пассивного двухполюсника, если ее полюса лежат в левой полуплоскости или на мнимой оси (в последнем случае полюса дол­ жны быть простыми с вещественными положительными вычетами)

и Rez(i(o) ^ 0 .

Функция, обладающая этими свойствами, называется положи­ тельной вещественной функцией [3].

Пространство периодических функций и свойства линейного оператора z(ico)

Как уже говорилось, значительное внимание в книге будет уде­ лено исследованию уравнений цепей при периодических решениях. Поэтому целесообразно подробнее остановиться на тех свойствах линейного оператора z(ico), которые будут использованы в следую­ щих главах. Относительно операторного ур-ния (1.15) мы примем следующие предположения:

1) Если u(t) = u(i + T) и ср(i, ^ = ф (г , i+T), то Г-периодическое решение ур-ния (1.15) существует. Условия существования такого решения выводятся в гл. 2.

2) Все Т-периодические вектор-функции, входящие в (1.15), ин­ тегрируемы по Лебегу вместе со своим квадратом. Обозначим,

Как известно [56], условие (1.19) обеспечивает возможность пред­ ставления элементов вектор-функций i(t), <p(i, i), и u(i) в виде ряда Фурье.

14

3) Пусть f(t) — произвольная Г-периодическая вектор-функция размерности п:

/ (0 6 ь 2 (О, Т).

г

Тогда оператор z(ico) должен обладать тем свойством, что

Выше, в комментариях к выражению (1.14), были указаны свойст­ ва элементов матрицы z(p), обеспечивающие выполнение условия

(1.20).

При сделанных предположениях пространство Ь2(0, Т) можно рассматривать как вещественное гильбертово пространство, если ввести понятие скалярного произведения. Пусть y(t) = (yi(t),

Уг(1),..., yn(t))T= y (t+ T ) и z(t) = (Zi(t), z2(i),..., Z n fO ^zsztt+ T ) —

произвольные вектор-функции и y(t), z(t) 6 L2(0, T). Тогда скаляр­ ное произведение y(t) и z(i) определяется следующим образом

[42]:

Напомним, во избежание путаницы, что здесь yr (t) обозначает век­ тор-функцию, транспонированную с y(t).

На основе скалярного произведения определяется норма векторфункции y(t) 6L2(0, Т)\

Пусть z(p) — матрица, удовлетворяющая данному выше опре­ делению матрицы сопротивлений пассивного многополюсника. В этом случае имеет место следующее, очень важное для всех даль­

15

Здесь Jnf скалярного произведения берется по всем значениям м и по всем вектор-функциям y(t), удовлетворяющим следующим условиям: y(t)s=y(t+T);

у № Ь Ц 0, Т)\ ||у(£)|| = 1; г (iш)у(£)€L»(О, Т).

Если к тому же эрмитовская матрица z(ico) + zT(—ico) является строго положительно определенной, то

ны оценки величины а. Приведем эти оценки. Пусть вначале z(p) — скалярная функция. Тогда

И). 1=1, 2.....п,

* = 0, 1...

2д

(i ~y ~J +

+ zT^— Способы оценки собственных чисел матриц изложе­

ны, например, в [13, 58].

В {21] приведены и другие способы оценки величины а. Напри­ мер, если z(p) матрица порядка 2X2:

ш, 1=1, 2; к=0, 1...

где

6u = 2 R e z J i^ V ,

z12 1 2я k + z2i — i 2я k

= 2Re z22 (i

2я k

2Re zn i

Аналогичным образом могут быть получены и оценки величины нормы линейного оператора z(ko), обозначаемой ||z(ia>)|| и опреде­ ляемой следующим образом:

Ш. lll/ll=l

16'

возникает необходимости в получении эффективной оценки числа а в (1.27). Важным бывает только установление факта выполнения (1.27) со строгим знаком неравенства, т. е. неравенства (1.28). Тог­ да. конечно, нецелесообразно проводить довольно сложные расче­ ты, связанные с оценками (1.29), (1.30) и (1.31).

Можно указать некоторые классы цепей, для которых выполне­ ние неравенства (1.28) устанавливается непосредственно по струк­ туре цепи. Пусть вначале имеет место одномерный случай, тогда z(p) — функция входного сопротивления линейного двухполюсни­ ка. Если линейная цепь представляет собой последовательное сое­ динение резистора R и остального двухполюсника с сопротивлением

В реальных схемах неравенство (1.35) может иметь место даже тогда, когда для линейного двухполюсника Jnfz(ico)=0. Например, при наличии в цепи последовательно включенного источника на­ пряжения величина R может учитывать внутреннее сопротивление источника. Другой пример — при последовательном соединении линейного двухполюсника и нелинейного резистора последний час­ то можно представить в виде последовательного соединения посто­ янного резистора и преобразованного нелинейного резистора, со­ храняющего основные особенности исходного нелинейного элемен­ та (такими особенностями могут быть, например, монотонность вольтамперной характеристики, наличие неустойчивых участков, кусочная линейность и т. д). Тогда постоянный резистор можно от­ нести к линейному двухполюснику, чем обеспечивается выполнение неравенства (1.35).

При переходе к многомерному случаю, когда z(p) — матрица сопротивлений линейного R, L, С, М-многополюсника, неравенство (1.28) будет обязательно выполнено, если структура цепи такова, что последовательно с каждой парой клемм мнпгпгтплк-и-никя нк-дт- чены резисторы с сопротивлением Rlt Rz,■■■, Rn■В самбмядешё,- »0пда

( О - —■