Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

В силу принятых предположений относительно функций f и со, на основании (11.14) легко видеть, что для интегрального уравнения (11.13) справедливы альтернативы Фредгольма. На основании пол­ ной эквивалентности задачи I и интегрального уравнения (11.13) непосредственно заключаем, что при принятых предположениях относительно кривой а, т. е. когда а совпадает с его, и функций f и <р решение задачи I существует.

Теперь рассмотрим случай, когда кривая сг не совпадает с нор­ мальным контуром ст0. Относительно кривой а, будем предполагать, что: а) функции x(s), y(s), определяющие параметрическое урав­ нение кривой а, непрерывны вместе со своими производными до второго порядка, а вторые производные удовлетворяют условию

В рассматриваемом случае в силу требований относительно а, как и в работе [62], можно построить функцию Грина задачи Дирих­ ле, т. е. задачи (II.9) для уравнения (II.8). Подробно об этом бу­ дет идти речь в следующей главе при последовании краевых задач

19

Функция y.(s,x,y) определяется как решение одномерного инте трального уравнения Фредгольма второго рода.

На основании (II.7) решение уравнения (II.8), удовлетворяю щее первым двум условиям (П.2), выражается формулой

ur ( x , y ) = j x ( i ) ™ SL * . x ’. y) . са _

Удовлетворив третьему из условий (П.2), для определения неиз­ вестной функции со (у) получим интегральное ура внение. После это­

В силу эквивалентности задачи I и уравнения (11.16) из единствен­ ности решения задачи I следует существование решения уравнения (11.16). Таким образом, решение исследуемой задачи существует и

врассматриваемом случае.

§3. Задача II

1.Единственность решения задачи II. При рассмотре задачи II в общем представлении (11.7) без ограничения общности можно предполагать, что

Следовательно, однородная задача II сводится к задаче нахожде­ ния регулярного в области Di решения уравнения (II.8), удовлет­ воряющего условиям

Согласно третьему из условий (11.18) и в силу известного свойства производной по нормали решений эллиптических уравнений [24] за ­ ключаем, что регулярное в области D\ решение ит(х, у) уравнения

Тр.ико'ми может принимать экстремальные (максимальные и мини­ мальные) значения лишь на открытой дуге ст. На основании первых двух условий из (11.18) эти экстремальные значения могут быть достигнуты только в точке N(Q,h). Но (o(h)=0, следовательно, о>(у)= 0, Q s^y^h. Таким образам, однородная задача II не можег иметь отличного от нуля решения. Отсюда следует единственность решения задачи II.

20

2. Существование решения задачи II. Существование решения задачи И будем доказывать в тех же предположениях, которые были наложены на о. f и <р при доказательстве существования решения задачи I. Согласно (П.7), (П.З) и (11.17), решение за­ дачи II редуцируется к задаче отыскания регулярного в области

D1 решения и г (х,у) уравнения (II.8), удовлетворяющего условиям

Решение уравнения (II.8), удовлетворяющее первым двум усло­ виям (II.9), дается формулой [43], [62]

1

21

(t, X , у) — 2 J K(t, s) (X (5, JC, y) ds = 2g., (? (0 , ч (П; X , y),

* (* , s) = A(s, *(*), v(t)),

венно получаем интегральное уравнение для определения функ­ ции ш(у):

i

которое эквивалентно задаче II. Пользуясь единственностью ре­ шения задачи И, заключаем, что решение этой задачи сущест­ вует. Следует отметить, что в случае, когда о совпадает с нор­ мальной кривой а0, функция Грина (11.21) для рассматриваемой задачи имеет вид [43], [63]

На основании этого, как и в случае задачи I, можно выписать явное выражение ядра 5* и функцию В, (у):

22