Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

где

-п) + Я*"(5. Ч) = (Аг К + В, ?у )2 + (Л,-/;, + Ву-Пу f ф 0.

При п = 2пг + \ без ограничения общности можно полагать [3], что /?(£,т])>0. Следовательно, уравнение (1.7) ((1.8)) составного типа при т]> 0(£> 0), параболического при ri = 0(£ = 0) и гиперболическо­ го типа при т]<0(|<0). В случае п = 2т вне линии параболичности

■11 = 0(1=0) уравнение (1.7) ((1.8)) либо всюду составного (&>0),

либо всюду гиперболического (k< 0) типа.

§ 2. Общее представление решений модельного уравнения третьего порядка смешанно-составного типа

Решение и(х, у) уравнения (1.9), непрерывное вместе со своими частными производными до второго порядка, назовем регулярным решением, если функция Ти(х, у ) = у тихх-\-иуу непрерывно диффе­ ренцируема по переменной х. Докажем, что любое регулярное ре­ шение и(х, у) уравнения (1.9) может быть представлено в виде

•где z(x, у) — дважды непрерывно дифференцируемое (регулярное) решение уравнения

где coi (у) — произвольная непрерывная функция. Очевидно, что функция

уt

ш(у) — |Ш1 (s) ds,

a b

где (a, b) — произвольная точка рассматриваемой области, есть ре­ гулярное решение уравнения (1.12). Следовательно, имеет место представление (1.9). И наоборот, функция и(х,у), представленная функцией (1.10), где z(x, у ) — регулярное решение уравнения (1.11), а со (у) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, будет регулярным решением уравнения (1.9).

13

Г л а в а II

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННО-СОСТАВНОГО ТИПА

СОПЕРАТОРОМ ТРИКОМИ

Вэтой главе будут сформулированы и исследованы краевые за­ дачи для уравнения

§ 1. Постановка задач

Очевидно, что прямые г/= с являются характеристиками уравне­ ния (II.1). Кроме того, уравнение (II.1) имеет еще два семейства характеристик, являющихся решениями уравнения

yay2 + dx2= 0,

действительных при у < 0 , комплексных при г/>0. Обозначим через

лежащей в полуплоскости г/>0 и опирающейся на ось х-ов в точках. А (— 1,0) и 5(1,0). Будем предполагать, что каждая прямая у = сг 0s^ c< h t пересекается с кривой а в двух точках, а прямая y = h име­ ет единственную общую точку N (точку касания) с кривой а. Пусть D2 обозначает область, ограниченную отрезком А (— 1,0) 5(1,0) оси х-ов и двумя характеристиками

и

В С :х — ?- ( _ у )3/2 -)_ 1

уравнения (IIЛ ), выходящими из точки

И

уравнения (II.1), непрерывное вплоть до границы этой области и удовлетворяющее условиям

т(0)= ф (0), f(h)=(f>(h), 1\— длина дуги BN, причем f и т непрерыв­ ны, а ф — дважды непрерывно дифференцируема.

где / и v — заданные непрерывные функции, а ф заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем

м ; = ф(а; ^ ( о) = ф'( о).

здесь т(х), v(x) и фЛу) —заданные дважды непрерывно дифферен­ цируемые функции, причем т (0) = ф1 (0), т(0)=ф1, (0).

З а д ач а IV. В области D3, ограниченной контуром 0С\СС20', найти регулярное решение и(х, у) уравнения (II.1), удовлетворяю­ щее условиям

где ф], я|}2 и ф! — заданные дважды непрерывно дифференцируемыефункции, удовлетворяющие усло!виям

15

.здесь производные берутся вдоль дуг кривых, где заданы эти

функции.

З а д а ч а V (смешанная задача). Требуется определить регу­ лярное в области D решение и {.к, у) уравнения (11.1) с возможны­ ми разрывами производных вдоль ОС( и ОС2 , непрерывное в зам­

кнутой области D и удовлетворяющее условиям

■где f — заданная непрерывная функция, фь фг и ср {у) — также за­ данные дважды дифференцируемые функции, вторые производные которых удовлетворяют условию Липшица, причем в точке О функ­ ции фь фг, ср и их первые производные, (вычисленные вдоль линии их задания, совпадают, a f(N) =q>(N). При последовании сформулированных выше задач будем пользоваться формулой (1.10) для урав­ нения (II. 1), т. е. представлением

здесь ит(х, у) — регулярное решение уравнения Трикоми

а со (у), как и в представлении (1.10),— произвольная дважды не­ прерывно дифференцируемая функция.

§ 2. Задача I

Очевидно, что линейная функция а+|5у является решением уравнения (II.8). Учитывая это обстоятельство, при рассмотрении задачи I без ограничения общности можно предполагать, что в представлении (11.7) произвольная функция ы(у) подчинена ус­ ловиям

ю(0) = ш(7г) = 0.

1.Единственность решения задачи I. Однородная задача I

вг|«= — “ (У). М х>°) = °. — 1 < * < 1 , « г (0, у )= — и (у),

0 < у < Л .

Но регулярное решение уравнения (11.8) положительного максиму­

ма и отрицательного минимума в замкнутой области D\ достигает лишь на контуре этой области. А так как ит(х, 0) = 0 при — l^ x s ^ 1

и ti<T(0,h) =0, то функция иг (х, у) положительного максимума и от­

рицательного минимума в замкнутой области D может достигать лишь на открытых частях AN и BN кривой о. С другой стороны, ввиду того, что ит(0 ,у )= —со(у) при 0< y < h , эти же экстремальные

16

18