Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

решима относительно а * ,

а 2

,...,аг ;

самое

общее

ее

решение

найдем,

оставив произвольными

постоянные а*+1,..., а .,, которые

в дальнейшем обозначим

через

b v ...,

Ь._г, и

решив первые

г

уравнений системы (V.23)

относительно а

*

а г . Общее реше­

ние системы (V.23) будет поэтому иметь вид

«; = 2 - V

ь, +

2

в и ь - 1 =

1 ■2..... г ;

<v -26'

7 = i

y = i

здесь Ац, ^ . — определенные

постоянные,

не

зависящие

от

функции /* (s).

Внеся в правую часть (V.20)

на место

о*

их

выражения

из

(V.26), приведем уравнение (V.20) к

виду

= Л ( so) +

2

bi V’i ( s°)'

(V,27)

где

7 = 1

/ а (« о ) =

Я 5 з ( 5 0; $ , • » » ) /( « , ^ d l d - q ,

D

s3( 50;

ri) = S2[ S0; l,

r/j +

V

( x0) f

(s;

(s) rfs,

£

Г

( so) =

2

( So) + v r + i

(

—

< - ,( so) =

7 = 1

= 2

Л/ -^ 7 ( So) +

( so)-

7 = 1

Функции

t i , * очевидно,

линейно

независимы.

Теперь

уравнение (V.27) разрешимо при

любых

значениях

постоянных

b v ..., b.i

r. Общее

решение этого уравнения

можем

представить

в виде

v — Г

ч — Г -\ -0

^ ( s0) = А

( s0) +

2

bi

( А +

2

b i ^

{V-28)

7=i

i=v-r+i

где

A ( So) = f%( So) + J Г ( V

s) Л (s) ds>

«ч

*

А

*

! >2,...,

V-

г,

V-j ( V) = v j ( 5о) +

J г ( «о*

(s) ds> j =

°3

Г (s0, 5) — обобщенная

резольвента

ядра

^ (s0,

s);

функции

\>‘j ( s 0),

очевидно,

являются

решениями

уравнений

М у =

V . .

Через у,_г+1, Рч_г+р

обозначена для единообразия полная сис­

тема линейно независимых решений однородного уравнения

Му =

О,

а через 6.,_г + 1

Ьч_г+р — произвольные постоянные.

Теперь

легко

убедиться,

что

все

функции

у;. ( $0)> У = 1,...,

v — г +/?

и, значит, все

= 0,

i — ■>— г -f 1,...,

v — г -f р.

На основании

(V.28) функция у* (х , у) принимает вид

|i‘ (х, у) = (х, у) + 2

bj у* (X, у),

(V.29)

где

У=1

/3 (■*,

У) =

J s ^ (JC,

у;

s)/‘ (s) rfs, у* (X , у)

=

=

J S* (j:,

у;

s) y;. (s) ds.

9

b---< V ~ r + p .

p, (x, y )= 2

ач Py (x' У)> '' =

<? +

Внеся эти функции в формулу (V.29), получим

Р* {х.

У) =

/ 3 {х, у) +

2

Ь]

Ь (х' У)-

(V •30)

где

У=1

v-r+p

^• =

^ - +

2 6' ау ’ у =

1'

2..... <7-

г=и -1-1

Функция (а* (х, у), определяемая формулой (V.30),

должна еще

вместо р* (х , у)

ее

выражения (V.30) и принимая обозначения

5S?t(x, y)Vj{x,

y)d x d y =

— 9гу, / = 1, 2,..., q

D

(V.31)

jjcp .(x,

y ) f A(X, y) d x d y

=

0 .,

i = \ , 2 , . . . , n

и

f*(x , y) =

Jjs < (x ,

y\ 5,

-/))/(£, i\)d^dij,

D

s* {X, y, 5, v) =

S, (x,

y\ i, -/i) +

J s * {X, y\

s)

S 3(s; 5, ^i) +

+

J r ( s ,

s ,)S s(s,;

5,

f d d s l

ds,

приходим к системе

алгебраических

уравнений

относительно

......bV-

2

°ц b) = V

* = 1 . 2 .... л.

(V.32)

У*=1

Пусть

ранг матрицы ||9г;.|| равен р(р < §',

р<

/?-).

Не

нарушая

об­

щности, можно считать,

что

определитель

|6f/J, t

J =

2— >Р

отличен от нуля. Тогда

условия

разрешимости системы (V.32)

относительно b * , . . . ,

b q

записываются

в

виде

\+1 +

2

dn \ =* °>

J =

Ь 2,...,

л -

р,

(V.33)

/ = 1

где

— вполне

определенные

постояннее,

не

зависящие

от

функции /(х, у).

|JФ, (*'

У) / (л‘. У) й х а У = О,

J =

1, 2,..., п -

Р;

(V.34)

и

здесь

■>; (X, У> =

I

I

St (Е,

X, У )

г

1

-о

Из соотношений

(V.34)

нельзя

заключить,

что

число

условий

разрешимости

системы

(V.32)

равно п — р.

Оно

может быть и

меньше,

чем п. — р, так как среди функций

(лу у),

j =

1,2,...,

..., п — р

могут оказаться линейно зависимые

между

собой.

Предположим, что условия

(V.34) и, следовательно,

(V.33)

выполнены.

Теперь

система

(V.32) разрешима

относительно

Ьу ,..., Ьг и ее

общее

решение представляется в виде

=

2

Еп

+ 2

FJ*

Ь 2,..., р,

(V.35)

i - р + i

/0 = 1

где Ejv

Fjk — определенные постоянные,

ие зависящие

от функ­

ции / (х,

у). Теперь,

подставляя в

соотношение

(V.30)

вместо

можем представить в

виде

У (х , у) = / 5 (х, у)

+

^

b* wt (х,

у);

(V.36)

здесь

г=Р+1

Л ( * , у) =

j j 5

5 (х, у;

|, •/))/(?,

- fite d -t],

D

5 3 (х, у\ ?, 7}) =

5 4 (х,

у;

S,

7}) —

(х,

у; ?,

tj) +

+ 2

F i -

{' Х ’

(Т?*(Л'' У) s4(** У ;

5, т?) cfxrfy,

j, к=1

J J

wi (*>

у) =

^ (л'о у ) + 2

^

(** у)'

г‘ =

р + 1 ... -

/■=1

Функции те/, (х, у), очевидно, линейно независимы.

На основании

(V.36)

общее

решение уравнения (V.13), эквива­

лентного задаче

Л0, принимает вид

и (х, у) =

/? [/" (х,

у) -f- /3 (х,

у)]

-)-