Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

J V(t)(t — x)

» л =

j'

- H { x ,

t )

— 11 — X

3 + ( ! - * * )

в

X

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X v ( O d * + y / 1(*) +

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

X

t ~ \ t -

x )

3 dt,

-

1 < x < 0,

 

 

(II.46)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф1(У) = Ф1( У ) - “а(У)» Ф2(У) = <М У ) - Ш2(У)’ * = T-

 

Теперь, применив формулу обращения интегрального

уравнения

Абеля, представим уравнение (11.45)

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

О

{ t - Ц 3 - ( 1 - « )

3 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( t ,

6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3/а(Е)Л,

(11.47)

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а/з

 

 

 

 

 

1

 

v

Xе/-

 

Г*

*

 

3 {x — t)

dt.

 

 

 

-

4 *

£

Л (*> =

1 Г Л ( * > - Щ Г л г Н

 

 

 

 

 

 

 

Когда х лежит стргого

внутри

интервала (0,

1), второй

интег­

ральный член в левой

части (П.47)

 

в результате

замены

пере-

менного

1 _

^ =

г 3

можно переписать в виде

 

 

 

 

А

| V(/)i t

| (х -

?)-“'■<!

-

«

Г Х Л =

^

 

J

 

48) (

-1

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

Рассмотрим теперь

функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ж

 

 

__1_

_ 2 _

 

 

 

 

J( x) =

fv(t)dt Hit- Ц

 

3( x - Z ) ~ * d i =

 

 

 

 

 

-1

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

х

 

 

_____________2_

 

 

 

 

 

= \ 4 {t)d t\

$ - t )

3 (х — S)

3 ^ +

 

 

 

 

 

 

-1

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

х

 

_ _1_

 

 

 

_ _2_

 

 

 

 

 

+

Jv(f)fltt

 

 

3 ( х - £ )

8 С(Е =

У1(Х) +

У8(Л).

 

 

о

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-11

33

Функцию У2

запишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л —е

 

г

 

___i_

__

 

У, =

ПтУ2. = lim {

v(t)dt

J > - E )

\ х - У )

3 а?Н-

г

 

1

^

 

 

„

 

„

_ __

 

_ _2_ \

+ f (Б -

t)~ т (х -

Б)" ~

d%

+

(

v (t) dt

] { t - \ ) 3 U -

E) 3 di .

?

 

 

 

J

дг+s

 

u

 

 

j

Заменой

переменного

интегрирования

%=

t + {x — t)z

легко на­

ходим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.49)

 

 

 

1

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ( Б - * ) 3 ( * - 5 )

 

=

У з

* > * •

 

 

 

 

 

 

 

 

д. _ £

 

 

 

Далее, применяя подстановку

z3,

получаем

 

 

t

=

 

 

 

| ( « - « ) ' , ( д :- 6 ) ‘ * Л = - 3

J

t < x ,

°

( f ) '

 

-з f г ^ р + r^ F . О Л

 

/ з

Следовательно,

( т ) ‘

 

A . = #

f

+

/3

A-+S

 

 

 

б

 

'

 

 

_ з П ' +

1) .( « < «

1 А -

 

\ 0

 

А-+Е,

 

(4Г

 

 

Дифференцируя по х,

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д\ 3 у (l)dt

4 = Т У ”(А - ■> -

т г 1 <■* +

•) +

( I +

 

X j t — X

Л| , ) ( А

— з [N (х — е) — v (х + е)]

f

d z

Г

d z

J

1 - г*

, J

1 - Z3

 

 

Ш ' !‘

 

ш

 

34

Отсюда следует существование

равномерного предела

 

 

уИ ? Л = г И х ) + И т Г ^ -

(П.50)

 

 

Подставляя

(11.48),

(П.49), (11.50)

в (11.47),

имеем

 

v(x)

 

 

 

— М

1

 

+ ■

 

v (t) d t +

 

У з я J |\ х ) t —

 

 

 

 

 

х 1 1 — xt

 

 

 

t \k

1

*?/»

 

 

 

 

1

 

 

v (0 dt +

- y = z

JL(X, t) V(t) d t =

 

X

I

t —

X

1 — xt

УЗ- 0 *-

 

 

 

,c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.51)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ (* ,

0

=

x - ^ - j Я(5,

*)

( x - | ) " 3 ^ .

 

Аналогично из (11.46)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

о

 

 

 

 

 

 

V ( x )

 

 

м '3

1

.

с - ^ г 3/з

V(f) dt

 

 

 

/3~-

 

JC/ £ — X

'

1— tx

 

 

+

-

J -

П

2/ а

 

 

П

 

 

 

____ Ы

j Л>(t)dt +

 

 

УЗт. J

L\- х) t - x

 

l - t x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Y *

x

 

— 1 < jc < 0;

 

 

здесь

 

 

0

 

 

 

Z (j :,« =

- 1 . ^ - J / / ( 5 , t ) { t - x ) - ' hdZ,

Л W = т Л W +

S 2

$ r

t h (t — x)

 

(II.52)

dt:

35

Выражения (11.51), (11.52) можно записать в виде одного урав­

нения

 

 

 

о _

Г'-

 

 

 

 

 

v (t)d t +

 

 

/3

-1 *-

tx

 

 

 

 

 

 

 

 

i _

 

 

.

I

f

____u i l

v(t) dt +

~

V

n J

\\x\j t — x 1 — b

 

/3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 7 k

 

 

=

Я (* ),

 

(11.53)

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H (x) =

l ( X ,

S) 0)j [rj (<?)] ofs -f Нг (jc).

 

 

5t(x, 5)= - 1 _ . ^ .| (д : _ $ )- ^

X(s>St 0)<ft,

0 < a <

1,

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Sx(x,

s) =

 

 

 

 

X(S, E,0)de,

— 1< л < 0,

 

 

r

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

X

 

 

H, w =

- j

S. (л,

s)f(s) a s

 

- -

1

■ £ ■ $ ( * - !)-’ • Л й X

 

0

 

 

r

11

 

о

 

 

 

fl

I-

 

 

 

“ т л ,

о < a < i ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

1

 

 

о

 

 

tfl W = — j" St(a , s)/(s)afs —

 

 

 

 

 

2 y j *Tlrf

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t~%(t -

6)

6

— 1

< A <

0.

Когда кривая а совпадает c a0, в уравнении (11.53) слагаемое, содержащее функцию L (a , t), исчезает. В этом случае уравне­ ние (11.53) было исследовано Геллерстедтом [64]. При этом сле­ дует заметить, что у Геллерстедта доказательство существова­ ния v(a ) сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, которое однозначно разрешимо. В рассматриваемом случае, т. е. когда кривая а не совпадает с нормальным контуром о0, методом*, примененным Геллерстед-

* Сущность этого метода коротко изложена в следующей главе.

36

том, уравнение (11.53) легко сводится к интегральному уравне­ нию Фредгольма, которое также будет однозначно разрешимо. Это уравнение имеет вид

1

v ^

- “ЙйГ I м

^ v № dt = f *

 

где

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

/ * ( * ) = 4 -

H (x)

v n * j

t \2 /3

Г (х, t) H (t) dt

("■*

 

 

-1

 

 

 

__1_(

_ j_

1

1___

f Г (x, t})

M ( x ,t ) = -%-x

3 j(l

— |£|)~ 3

i — tx

' y

J l-~ «i

 

 

1

 

 

 

(И-54)

dt. +

+ * 2/31 (x, t) + - L -

j

L ( tv

t) Г (x, t x) dt,

 

 

—1

 

 

 

 

 

\x\(l + t)

1

 

 

 

 

 

1 3 /

l

 

 

 

Г (x , t) =

(1+■*)( —0 J

\/—X l - t x ’

— 1 < £ < 0,

 

 

_1_

 

 

 

 

Г (* ,* ) = -

\\x (1 - t) ]

з /

1

_ -

J - )

0 < *< 1.

 

(1 — x ) t J

\ t - X

1

— tx ]'

 

Без особого труда можно показать, что решение v(x) уравнения (11.54) принадлежит классу С‘ ( |jc | < 1, а: ^ 0) и в точках ± 1,0

9

может обращаться в бесконечность лишь порядка меньше— .

Обозначив через N (х, t) резольвенту ядра М ( jc, t), решение уравнения (11.54) можем представить по формуле

1

V(X) = / * {X) + -L = - |

N(x,

t ) f* (t) dt.

 

 

 

-i

 

 

 

Учитывая выражения для функций

f *

(х) и Н (х),

предыдущее

равенство перепишем

в виде

 

 

 

 

 

i

S2 (•*> s) mi [4 (s)] ds,

 

v (л:) =

[j. (л) + j

(11.55)

где

0

^

 

 

 

 

 

 

 

,»(x) = 4 - 1 H, (x) +

f

 

(*■ t) H, (<) d t +

37

Смотрите также файлы