Файл: Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа.pdf

1

(У — л) М у ) = ®(у) + 6 j

(е2 + - ^ - у 3) ° -

-1

1

- ( i

+

6

v(5) dl-

4 ^ y 3)

F I —

— JL _L 1 —

1 + - 1 ;у3 - 4-У2 /1 - £ 3

1

6

6 ’ 3 ’

1 + Т / + у / /г^ 1 - 5 2

— г 1 - т У 3

X

<о (0) = ® '(0) =

0.

(11.24)

Задача III в силу (II.4),

(II.7)

и (11.24)

сводится

к определению

регулярного в области

D2

решения ит(х, у)

уравнения (II.8),

удовлетворяющего условиям

и г (х, 0) = х (х),

_ v ^

— 1 ^ х ^

(11.25)

«г(°> У) = 'Pi(У) — ш(У)> ~ (-| )

< У < °

1

Г

-I

__5_

и Г(*, у) = 25/3 Tl J

ит| х

+ 1 ( - у?Ч, o j

(1

-

f ) 6 d t +

д“ т [ х

л

i_

6

(11.26)

5л

(1

-

*2)

dt,

§

5. Задача

IV

При изучении задачи

IV

в общем

представлении (Н.Т) без

ограничения общности можно предполагать, как и

в

задаче III,

что произвольная

функция ш(у)

подчинена

условиям

(11.24).

В условиях (II.5)

функции

ф2 и ср4

также

без

ограничения

общности можно подчинить условиям

В самом деле,

если это

не так, то,

обозначив значения

ф,, <|м и

f u а также их

производные

в точке О через

а и b

соответст­

венно,

рассмотрим функцию

ий = а +

by,

которая, очевидно, удовлетворяет уравнению

(II. 1).

Заменив за­

тем и

на и — и0,

убеждаемся,

что для

соответствующих

значе­

ний новой функций справедливы условия (11.27).

Задача IV на основании (И.5) и (11,7) редуцируется к опреде­

лению

регулярного в области

D z решения ит{х, у)

уравнения

(II.8),

удовлетворяющего условиям

'

3/

(11.28)

/11.29)

ит\ос = ? (У )~ “ (У). “ ( f ) < У < 0 -

В

силу (II.7)

и (11.24)

имеем

/

ач

,

п.

, .

ди (а , 0)

дит{х, 0)

и (х ,

0) = ит(х,

0) = т (а),

— -^Г~ = -----Ту— = VW -

Из

формулы Дарбу

(11.26) на основании условий

(11.29)

получим

х

_ 5_

_ 5 _

х

_ _1_

71Аа/з J

х (t)t

6 (х — t)

6 at — 7г J

v (t) t

ь (л- — t) 6 dt =

Г / 3

\ ’Ч

— шj

Г

(

3

\ ’Ч

,

0 <J

a < 1 ,

(II.30>

0

Н

И

Н

~

И

5

5

0

7

, A

' ^ ( t ) ( - t )

6 (

* - a)

6 ^

-

T2 jv

(f)(—0

6 ( t - x )

6 dt =

F (x) = ^

. J L ]’ ф № _ t r ' d t

о

■т j\ (*)(je — *)

3 dt,

0 < а < 1 ,

(11.32)

, .

(— а)5/“

d

( д Г

’ W = — S Д - w

_ _2_

_ _1_

- | Д

£ 3 (£ — а)

3 dt

V/

X

+ Т j

v(0 ( t ~ a)

— 1 < а < 0 ;

(11.33);

5_

_

j>_

О

T i T h —

3 dtx =

t

_ JL

( t t H - n - t j

6 (it - E )

* А Х>у '>= ^

У J f o - * ) " { * - £ )

О

“ OO + IP

t 6 d t x

где

i

J,

•j|

д-(-У) ,a

g

5

ii

'

:i;(y) =

' p . ( y ) + 2 ^ ( 4 )

у

J

( - - J y 8 -

*

2)

X ^ . f k

- ' t ' i

+ Ф,

Т ^ Г ] } ^ " 3 ( * - * i f X -

Введя обозначения

Tf W

=

(2 *)

T *

ф* (x) =

(2x) -s/a6*

‘/з

— I — x

функциональное уравнение (II.35)

перепишем

в виде

5

5

t

(X) -

1 j (х2 - г-)

6 t*

d j

T Ш

(* -

f,) 6 dt,

= T*(x),

n

n

'

'

0

< x < 1.

(11.36)

;(x) =

, с

t 4 ( t )

2 h Г ■— а- Ф dt.

J

J

(x — tYlo

и

( * - 0 5'

j

dt = 2 3 <р*(х) + 2,/з J (ха -

t2)

6 t 3 8 Ш

dt. (11.37)

О *-Х ^

о

Теперь, как и выше, применяя формулу обращения

интеграль­

ного уравнения Абеля, находим

4Г

дг

5

1

х Ч ( х ) = х \ (х) + — ^ •~ f </з 8 ( А ) Л ,

V,

V - Л)'

о

(11.38)

х \

(л'} = 2 ^ Г ' ^ I т*

{х~ ^

6d L

о

Уравнение (11.38)

после очевидных преобразований переходит в

следующее функциональное

уравнение

_ j_

S (jc) — 2 2 8

К ( Х , * ) s ( - j ) <# + ? ( * ) ;

здесь

(11.39)

и

6 d с.

В функциональном уравнении (11.39) искомая функция o(.v)

не­

прерывна при 0 < л" < 1.

Для нахождения решения функционального уравнения

(11.39)

применяем обычные способы

итераций

[70] и

последовательных

приближений. За нулевое приближение примем

=

? (■*)■

Из этого равенства находим

X

I

х

2*

2*/а°° 1

2* f_l = СО f .

Отсюда следует,

что

,

V

1

[ X

3°(х ) =

i ! ^ ' 1 ± r LoV2*+т) '

2й'2

'

\ 2*

= 2 р я ? ( - £ ) -

k=0

В силу

непрерывности

функции ® (*)

в

замкнутом интервале

0 « х < 1

| ф(х) |< М.

Учитывая это,

имеем

со

|8oW I < ж 2 Д 5 = Л1^

£

т

=

ж *.