Файл: Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде.pdf

собственных функций <pf (х, у, z, t) и значений частот ш. таких, чтобы удовлетворялось волновое уравнение

и граничные условия (например, df/dn=0 на всей гра­ нице). Общее решение для свободных колебаний может быть представлено в виде

Для цилиндрических труб с образующей параллель­ ной оси z зависимость от z можно искать в виде экспо­ ненциальной функции exp {mz} и уравнение (4, 73) пе­ реходит в

где к\=к2-f-m2, к=ш/с.

При этом должны быть удовлетворены условия на контуре поперечного сечения трубы. Условием для трубы с твердыми стенками будет

для трубы с «абсолютно мягкими» стенками

и в промежуточном случае

1 д<а

( ^ 78)

/ (£) — податливость стенок трубы, связанная с обычно применяемым акустическим сопротивлением Z соотноше­ нием

/ ( S ) = ; c o f - .

Задача состоит в определении собственных значений ки и соответствующих им характеристических функций

* Это уравнение тождественно уравнению колебаний натянутой перепонки (мембраны),

120

tpf (X, у). Зная ки , мы можем определить значения тп%= =кги — к2, т. е. определить фазовые скорости и коэффи­ циенты затухания различных частных форм распределения колебательных величин (х , у) в поперечном сечении.

Общее решение для колебаний в цилиндрической трубе получается в результате суперпозиции частных решений:

сутствию потерь на стенках трубы). Распространение колебаний с распределением <р( (х, у) в поперечном се­

ближенно равна скорости звука в свободном простран­ стве. С понижением частоты фазовая скорость возрастает и, согласно (4, 80), стремится к бесконечности при ш-»- w.. При фазовая скорость становится мнимой, что озна­ чает затухание данной формы колебаний, ее фильтрацию трубой. Коэффициент затухания вдоль от трубы равен

(4, 81)

Распространение на всех частотах без затухания и с одинаковой фазовой скоростью, равной скорости звука с, возможно только для одной формы колебаний, именно для плоской волны, когда колебательные величины одинаковы для всего поперечного сечения (<р (x,y)=const). Действительно, согласно (4, 75), <pf. может быть постоян­

121

ным и неравным нулю только при к10=0, а следовательно,

ш0=0 и с0 (ш)=с.

Очевидно, что распространение плоских звуковых волн возможно только в трубах с твердыми стенками, для которых dy/dns= 0.*

Существование той пли иной формы звуковых волн в трубе связано с частным видом граничных условий на концах трубы.

Интересно отметить важный частный случай, когда независимо от условий на конце трубы в ней устанав­ ливается только один вид колебаний. Очевидно, это будет иметь место при передаче частот выше первой и ниже второй низших частот собственных колебаний в по­ перечном направлении. Для трубы с твердыми стенками на частотах от со=0 до о) = ш1 все неоднородности в по­ перечном сеченпи при удалении от источника выравни­ ваются и единственно возможной является плоская волна.

Возникновение распространяющихся неплоских воли и поперечных резонансов искажает во многих случаях ре­ зультаты акустических измерений. Для приведения по­ грешностей к допустимому уровню надлежит параметры установки н верхнюю границу частот выбирать, поль­ зуясь формулой (4, 81).

Для трубы прямоугольного сечения с твердыми стен­

где дх и п2 — целые числа. Если Іг )> L, то наинизшая частота со10 будет равна кс/7х и длина волны Х10=2^х.

Таким образом, критерием установления плоской волны в данном случае будет X]> Xxo=2Zx, т. е. длина большей стороны прямоугольника должна быть меньше половины длины волны передаваемого звука.

Соответственно для трубы круглого сечения при dy/dns=0 длины волн поперечных резонансов определя­ ются из формулы

(4,83)

* Если ду/дпфО, то 'p^coiist.

122

где r0 — радиус трубы, а а.к — корни уравнений

Найнизшим корнем уравнения (4, 84) является а10 = =1.841; ’ таким образом, выравнивание фронта волны в круглой трубе определяется условием А)> 1.706Й, где d=2r0.

В обоих разобранных случаях мы пришли к одному результату: возникновение распространяющихся неплос­ ких волн имеет место, когда пеперечные размеры трубы становятся сравнимыми с длиной волны.

Укажем здесь, что при более сложной форме попереч­ ного сечения пеплоские волны могут распространяться без затухания при поперечных размерах, весьма малых по сравнению с длиной волны, так как основным крите­ рием являются частотные соотношения. Частоту же по­ перечных колебаний можно резко понизить, например, разделив трубу перегородкой с узкой щелыо (рис. 54).**

Конструкцию акустического фильтра, обрезающего

*См. [31, § 339].

**Уместно здесь напомнить, что размеры резонаторов Гельм­ гольца могут быть сделаны весьма малыми по сравнению с длиной Волны звука, на-которой они резонируют.-

123

расстояниях. При такой конструкции трудно избежать провалов и неоднородностей в кривой пропускания, обу­ словленных резонансами отрезков трубы между двумя последовательными отверстиями. Значительно лучших ре­ зультатов можно ожидать, осуществив такой фильтр в виде трубы со сплошной щелью, прорезанной вдоль стенки. Сечение трубы в этом случае будет иметь вид, изображенный на рис. 55.

В том случае, когда в начальном сечении задается такое распределение амплитуд, что объемная скорость

равна нулю 1 J (dy/dn) d S = О при распространении

интегрирования по всей площади сечения трубы при z=0 труба с твердыми стенками является фильтром, об­ резающим низкие частоты. Любопытно, что для некото­ рых специальных источников звука труба с твердыми стенками может явиться фильтром, задерживающим все частоты.

В качестве примера, иллюстрирующего это утвержде­ ние, рассмотрим предложенный и рассчитанный автором способ заглушения звука вращения воздушного и греб­ ного винтов. Этот способ заключается в помещении винта внутрь коаксиально с ним расположенного отрезка ци­ линдрической трубы [45] (рис. 56).

Если винт имеет п расположенных под равными • уг­ лами лопастей и вращается с угловой скоростью Q, во­ змущения, создаваемые им в плоскости вращения, будут периодической функцией как времени, так и угла по­ ворота Ѳ. Эту периодическую функцию можно предста­ вить в виде ряда Фурье

"К<

Таким образом, в каждой точке круга, ометаемого пропеллером, как бы имеется источник звука с гармо­ ническими составляющими, частоты которых кратны произведению числа оборотов на число лопастей. Особен­ ностью винта как источника звука является то очевид­ ное из формулы (4, 85) обстоятельство, что более высо-

124

кие по частоте гармонические составляющие имеют и более мелкий масштаб распределения по углу Ѳ.

Колебания, возбужденные винтом в трубе на і-той гармонике в соответствии с общей формулой (4,79), мо­ гут быть представлены суммой ряда

Условия фильтрации заключаются в том, что

где X0= 2 tcc/Q — длина волны звука, имеющего частоту, равную частоте оборотов винта. Если мы удовлетворим этому условию для а.н0, т. е. при к = 0, то оно и подавно будет удовлетворено для всех к = 1, 2, 3 и т. д. Так как л.п к при фиксированном А:возрастает приблизительно про­ порционально in, то, выбрав надлежащим образом число оборотов, число лопастей и диаметр трубы, мы можем получить фильтрацию звука вращения для всех гармоник.

125

В табл. 5 содержатся данные о затухании звука трех­ лопастного воздушного винта, совершающего 2000 об./мин.

плитуды звука на каждой гармонической составляющей будет больше, чем приведенное в таблице.

Таким образом, при сравнительно коротких трубах можно ожидать уже весьма существенного снижения уровня звука вращения. Естественно, что легче всего описанное устройство может быть использовано в стацио­ нарных установках (системы вентиляции, аэродинамичес­ кие трубы).

Значительно больший эффект можно ожидать от при­ менения описанного фильтра к гребному винту в силу того, что скорость звука в воде в четыре с лишним раза больше, чем в воздухе, а число оборотов в 4—5 раз меньше.

В § 3,2 были описаны опыты с фильтрацией ультра­ звуков жидкой струей. Для этого случая можно при­ ближенно положить амплитуду давления на границе жидкость—газ равной нулю, или =0.

Для трубы круглого сечения уравнение для опреде­ ления частот поперечных колебаний будет

(4,87)

Наинизшая частота ш0, соответствующая колебанию с осевой симметрией, при отсутствии узловых окружнос­ тей равна

1(4, 88)

что дает длину волны А=2та-0/2.4=1.31г0.

При любом характере возбуждения, в том числе и при поршневом возбуждении, в начале струи все коле­ бания с частотами ниже ш0 будут экспоненциально убы­ вать при распространении вдоль струи.

Аналогичные явления фильтраций доляшы, очевидно, иметь место во всех случаях, когда звук распространя-

р- i —/ р+і)/2. Известпая формула Макмагона не дает удовлетво­ рительных результатов для первых корней.

126

ется в жидкой среде, ограниченной свободной поверх­ ностью. Так, в море с твердым дном характерно ано­ мально быстрое спадание амплитуды с расстоянием' для звуков с длиной волны, большей учетверенной глубины. Особое значение эти соображения приобретают для не­ глубоких водоемов. Еще одним примером может слу­ жить задача о реакции бесконечной круглой трубы на поршневую мембрану, диаметр которой меньше диаметра трубы. Существенным результатом такого исследования является то, что на ряде частот эта реакция, если не учитывать потерь, приобретает бесконечно большие зна­ чения.

I Во время написания этой книги был опубликован целый ряд работ, посвященных исследованию распро­ странения иеплоских волн в цилиндрических трубах.

акустических фильтров и т. п. Упомянем здесь работы Морза [49], Б. К. Шапиро [50], Бриллюена [51], Бюрка и Лихте [52] и И. П. Пустовойтенко [53].* Несмотря на столь большое внимание к рассматриваемой проблеме, еще много вопросов осталось неисследованными. К этой категории относится и разбираемый § 4,5 вопрос о влия­ нии вязкости и теплопроводности на распространение звука в цилиндрических трубах с твердыми стенками. Без решения этого вопроса нельзя правильно учесть реакцию трубы на источник и определить другие тон­ кие стороны процесса распространения звука.

* В настоящее время физическая акустика обогатилась широ­ ким кругом исследований волноводного распространения звука в неоднородных средах и исследований, посвященных задачам о соб­ ственных значениях и собственных функциях. Ряд примеров, при­ веденных Б. П. Константиновым в этом параграфе, получпл подроб­

М.—Л ., 1940). Этот список можно было бы продолжить. Одиако специалисту, знакомящемуся с этой областью акустики, можно рекомепдовать начать именно с четвертой главы книги Б. П. Кон­ стантинова, чтобы представить себе характерные черты теории рас­ пространения звука в ограниченных областях. Практические след­ ствия рассмотренных здесь задач имеют самостоятельный интерес.

(Прим. ред.).

127