Файл: Константинов, Б. П. Гидродинамическое звукообразование и распространение звука в ограниченной среде.pdf

малого размера длины вязких и тепловых волн их можно трактовать как плоские и вблизи искривленных границ. Необходимым условием для допустимости такого рассмот­ рения является малость отношения длины этих волн

рической круглой трубе с твердыми стенками без пред­

шение (4, 89) видоизменяется в том смысле, что корни а°п получают малые добавки, так что решение для звуковой

влияние вязкости и теплопроводности мало, то в процессе

128

ниям и в том числе уравнению сііѵ ѵ=0, имеющему в ци­ линдрических координатах вид

ür, о, г от '■>ѳ>2 примем в виде ехр {— \/Х, 12 (г0 — г) + m!nz -|- +//гѲ}, т. е., примем, что вязкие и тепловые волны экс­

изводит таковую для акустической волны. Это необходимо для согласования с граничными условиями.

Для упрощения выражения граничных условий прежде всего отметим, что с точностью до половинной степени йх'/с2 величина (x'—Ti/XJ, содержащаяся в коэффициен­ тах (4, 91), (4, 93), может быть заменена следующим образом: (x'—Л/Х1)= —(А/Ха) (1—Ах'/с2)ä *—h ll^

Заметим также, что x'—h / \ —( i—у-1) х'. Далее, оче­ видно, можно пренебречь третьими членами по сравнению со вторыми в каждом из уравнений (4, 91) и (4, 92). В

vz—(/г/Хх) А х [1— (1—у-1) ЫЧсг\ ЭѲ1/Эг1=0, где член

(1—Y-1) hx'/c2 в скобках можно вычеркнуть. Тогда вместо (4, 91) и (4, 92) мы можем написать

Смысл этих соотношений заключается в том, что тан­ генциальные составляющие вязкой волны мы можем просто положить равными, но противоположно направ­ ленными тангенциальным составляющим акустической волны, вне зависимости от наличия тепловой волны.*

Заменим в (4,94) производную по г • через \/Х3уг в соответствии с принятой экспоненциальной зависимо­ стью ѵг от г), тогда, применяя (4, 94) к условиям на гра-

* Или, другими словами, что тангенциальные составляющие скорости в тепловой волне всегда пренебрежимо малы.

Подставляя это выражение в (4, 94), произведя допол­ нительные вычисления, заключающиеся в замене d%Jdr

на \JKQ*, а Q2 в свою очередь на —A ßJA ^, и, наконец, разделив все члены на —liA1Q1IX1, получим

и тіп. Заметим, что оно действительно для труб не только круглого, но и произвольного поперечного сечения, если под г и 0 мы будем подразумевать местные цилиндри­ ческие координаты в каждой точке контура.

Для трубы круглого сечения, как уже указывалось выше, мы можем для взять выражение Q i= JB(“,.,г/Ѵ0)X Xexp {m..nz+jnö}, очевидно, удовлетворяющее дифференци­

(где а°.п удовлетворяют уравнению /(, (а)=0) и производим разложение по степеням Aafn, ограничиваясь первой

(4, 97) дает для т\ формулу, выведенную Кирхгофом для

подставляя в (4, 97) (Да0)2=(то0—X*) г%и разрешая полу­ ченное уравнение относительно т\, будем иметь

І30

в дифференциальном уравнении (4, 94) пренебрежем чле­ ном у,./г0 по сравнению с d2vr/dr2. Нетрудно точно таким же образом показать, что погрешность в удовлетворении дифференциальных уравнений (4, 6) и (4, 7), которую мы

совершили, приняв зависимость от г в виде ехр {— \/Хг> 3 X

X (г0 — г)), ішеет порядок (г„ уД2, 3)_1 и /гх'т^/с2, что при за­ данной точности * не может отразиться на конечном ре­ зультате. Исходя из сказанного, при выводе общей фор­

мулы мы можем отбросить заранее 7-д1 по сравнению с \/Х3 в знаменателе второго члена уравнения (4, 97).

При і и п, отличных от нуля, мы учтем в (4, 97) лишь

Го

Произведя все необходимые выкладки, получим окон­ чательную формулу для

2(1-1) Хі

* T. e. при учете в конечном результате лишь членов порядка

(*' hi) ш/с2)Ѵі-

9* 131

Эта формула представляет основной результат настоя­ щего параграфа. Она дает константу распространения в цилиндрической трубе для колебаний с любым харак­ теристическим распределением амплитуд по сечению.

Полагая т.?^= и п = 0, мы получим формулу Кирх­ гофа для плоской волны.

Анализ формулы (4, 100) имеет смысл провести для различных частных случаев.

Прежде всего, при > 0 мы и без учета потерь получим быстрое убывание амплитуды колебаний вдоль трубы (см. § 4,4). В связи с этим применение (4, 100) в данном случае представляет интерес лишь для расчета деталей кривой фильтраций на границе области поглоще­ ния и для решения такого вопроса, как определение активной составляющей сопротивления сложного излуча­ теля на низких частотах.

Разберем два случая: а) осевая симметрия, /г=0; б) число узловых диаметров и узловых кругов настолько

132

Таким образом, в отличие от обычной теории, изло­ женной в предыдущем параграфе, при поперечном резо­ нансе мы имеем конечную, а не бесконечную фазовую скорость и, кроме торо, весьма значительное убывание амплитуды вдоль трубы.

В трубе диаметром 5 см, наполненной воздухом при 20° С и атмосферном давлении, первый резонанс с осевой симметрией имеет место на частоте 7840 гц. Фазовая ско­ рость при этом равна 1076 м/сек.,* а коэффициент за­ тухания 19.00 м-1.

Интересно сопоставить последнее число с коэффициен­ том затухания по Кирхгофу. В той же трубе и на той же

коэффициент теплопроводности. Это сравнительно редкий случай, когда при акустических колебаниях влияние теплопроводности отделяется от влияния вязкости. Осу­ ществляя соответствующие экспериментальные условия, можно с помощью полученных соотношений изучать долю потерь, приходящуюся на явления теплопроводности.

Мы позволим себе высказать здесь мысль о возмож­ ности построения акустической методики измерения теп­ лопроводности газов путем экспериментального определе­ ния фазовой скорости распространения и коэффициента убывания амплитуды в трубе в условиях поперечного резонанса. Такая методика по сравнению со статическими способами представляла бы известные преимущества как по отсутствию вредного влияния конвекции, так и по

* Длина волны составляет 13.73 см. Вместо бесконечности, без учета потерь, на протяжении одной длины волны амплитуда вдоль трубы уменьшается до 7.38% первоначальной величины, или в 13.5 раз.

133