Файл: Шмелев, П. А. Пределы функций и последовательностей учеб. пособие.pdf

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

П. А. ШМЕЛЕВ

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

♦

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра высшей математики

П. А. ШМЕЛЕВ

\'

Утверждено Учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия

для студентов

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Редактор А. В^ ИНДИОНКОВ

I

Й Р Ё Д Й С Л О Ё Й Ё

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы помочь сту­ денту, начинающему изучать высшую'Математику, разоб­ раться в наиболее сложных первоначальных понятиях и теоремах математического анализа, глубже понять их и на­ учиться применять к решению различных задач.

Пособие предназначено для студентов лервых курсов всех факультетов МЭИ. Особенно оно будет полезным для студентов-вечерников. Как методическое, оно будет полез­ ным и для преподавателей.

От стабильных учебников пособие отличается тем, что:

1.Не содержит доказательств тех теорем, которые имеются в стабильных учебниках, хотя и напоминает мно­ гие из них.

2.Содержит ряд дополнительных теорем с доказатель­ ствами, не содержащихся в стабильных учебниках, но по­ лезных для практических применений. К таким теоремам, например, относятся: теорема о замене переменной при вы­ числении пределов, теорема о вычислении пределов «типа е», теорема о замене бесконечно малых им эквивалентными при вычислении пределов отношений сумм функций, теоремы о связи между пределами функций при х-* ооц пределами по­

следовательностей при п -9-00,и ряд других.

3. Оно содержит подробные разъяснения почти ко всем основным понятиям курса «Введение в анализ» и обращает внимание читателя на ряд тонкостей как в самих этих поня­ тиях, так и в их применении. Такие ^разъяснения в стабиль­ ные учебники обычно не включаются. t

4. Оно содержит большое число указаний* по методике решения примеров и задач (главным образом на вычисле­ ние пределов функций и последовательностей). В нем рас­ сматривается, в частности, как примеңить хорошо разрабо­ танный аппарат теории пределов функций для вычисления пределов последовательностей.

3

1. Число. Множество. Функция

Понятия числа, множества, функции, предела функции— одни из первоначальных и основоположных понятий матема­ тического анализа. И хотя в настоящем пособии речь пой­ дет главным образом о понятии предела, мы остановимся кратко на понятиях числа, множества и функции.

Самыми простыми числами, первоначально вводимыми в

математике, являются натуральные числа. Натуральное чис­ ло — понятие неопределимое. Однако в разъяснение этого понятия, можно сказать следующее.

Число, показывающее, сколько объектов находится в дан­ ной конечной совокупности этих объектов, называется нату­ ральным.

Натуральные числа возникли из потребности счета пред­ метов.

Если натуральные числа расположить в порядке их воз­ растания, то мы получим ряд

1, 2, 3,..., я....

называемый рядом натуральных чисел.

Натуральные числа со знаком «минус» называются целы­ ми отрицательными.

Совокупность всех натуральных, целых отрицательных чисел' и нуля называется классом (или множеством) целых чисел.

Число вида-^—, где m и п — целые числа, пф 0, называ-

"п

ется рациональным. По определению — =лг. Таким образом,

целые числа" составляют часть от множества всех рациональ­ ных чисел. £

Сумма и произведение рациональных чисел определяются равенствами

5

Вычитание и деление определяются как действия соот­ ветственно обратные сложению и умножению. Из этих опре­ делений выводятся правила

Оказывается, что всякое рациональное число мозюно записать и притом единственным образом в виде бесконечной десятичной периодической дроби так, что число нуль не бу­ дет ее периодом. Например,

Совокупность всех рациональных и иррациональных чи­ сел (то есть всех бесконечных десятичных периодических и непериодических дробей) называется множеством действи­ тельных чисел.

Во множестве действительных чисел определяются опе­ рации сложения и умножения. Они обладают свойствами;

1)a + b= b-\-a (коммутативность сложения),

2)а-Ъ = Ь-а (коммутативность умножения),

3)(а + Ь) +с=а-\-(Ь + с) (ассоциативность сложения),

4)(a-b)-c-a-(b-c), (ассоциативность умножения),

5)(а + Ь)-с = а-с+ Ь-с (дистрибутивность).

Вычитание и деление во множестве действительных чи­ сел определяются как и раньше, как действия соответствен­ но обратные сложению и умножению.

Во множестве действительных чисел все четыре опера­ ции: сложение, вычитание, умножение и деление всегда вы­ полнимы (кроме деления на нуль!). Это значит, что для лю­ бых действительных чисел а и b существуют соответственно действительные числа с, d, е, f такие, что а + Ь = с, а—b = d t a-b — e, a:b = f.

Рассмотрим теперь понятие множества.

6

Совокупность каких-либо объектов, объединенных по не­ которому общему признаку, называется множеством. Объ­ екты, из которых состоит множество, называются его эле­ ментами. Так можно рассматривать множества: 1) листов календаря; 2) молекул газа в некотором объеме; 3) нату­ ральных чйсел; 4) многочленов, делящихся на х—1; 5) сту­ дентов в аудитории; 6) корней некоторого уравнения. Рас­ сматриваемые в геометрии геометрические места точек так­ же являются множествами. Короче, можно рассматривать множества любой природы.

Заметим, что приведенное здесь «определение» множе­ ства строго говоря не является определением, ибо слова «множество» и «совокупность» — синонимы. Понятие мно­ жества— одно из общих первоначальных понятий матема­ тики — вообще невозможно определить (так сказать, не че­ рез что). Поэтому приведенное выше «определение» нужно рассматривать как попытку дать представление о том, с чем мы будем иметь дело. В философии к таким неопределимым понятиям относится понятие материи, которое так же, как и понятие множества, можно лишь разъяснить (с помощью си­ нонимов и на примерах). В геометрии одним из первона­ чальных и неопределимых понятий является понятие точки. Такая неопределимость первоначальных понятий не мешает, разумеется, построению строгого здания науки, но должна отчетливо пониматься всеми изучающими эту науку.

Создателем теории множеств является Георг Кантор, ко­ торый в 1872 году определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью». Таким образом, определение Кантора исключает из рассмотрения множества, элементы которых не четко определены или плохо различимы. Так, например, нельзя говорить: 1) о множестве капель в океане (что такое капля? каковы ее размеры, форма? как их различать?) 2) о множестве идей в прошлом и будущем, 3) о множестве по­ роков, 4) о множестве всех множеств.

Тот факт, что элемент х принадлежит множеству Е ко­ ротко выражают записью

x q E,

которую читают: «х принадлежит Е» или «х является эле­ ментом множества £». Если, например, множество Е есть

7

отрезок [0, 5] (определение отрезка см. ниже), то запись X g [0, 5] означает, что число х принадлежит отрезку [0, 5]. Если элемент х не принадлежит множеству Е, то этот факт коротко выражают записью

x q E

Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечно много элементов, и конечным, если в нем содер­ жится конечное число элементов. . .Так, множество молекул газа в некотором объеме — конечно, а множество иррацио­ нальных чисел — бесконечно.

Конечные множества часто задают перечислением всех его элементов, записывая их внутри фигурных скобок. Нап­ ример, 1) множество цифр { 1, 3, 5), 2) множество лиц в комнате {Петр, Василий, Иван, Владимир}, 3) множество букв {а, б, в, г}. Конечное множество может состоять и из одного элемента. Множество можно задавать указанием ха­ рактеристического свойства его элементов или указанием некоторого ограничительного свойства.

Иногда заранее неизвестно, сколько элементов содержит некоторое конечное множество. Так, например, может быть поставлен вопрос о нахождении множества всех действи­ тельных корней уравнения xl8 + 9x8—х+11=0. Исследование может показать, что действительных корней это уравнение не имеет. Тогда можно дать ответ в такой форме: множест­ во действительных корней данного уравнения оказалось пустым. Таким образом, имеет смысл говорить о пустом множестве.

Множество называется пустым, если оно не содержит элементов. Оно обозначается 0 и считается конечным.

Множества А и В называются равными или одинаковыми (и в этом случае пишут А —В), если они состоят из одних и тех же элементов. Говорят также, что А и В это одно и то же множество. Если множества А и В не равны, то пишут

А В. ^

Из понятия равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве не существенен. Так, например, мож­ но писать {1, 2, 3, 4} = { 4, 1,3, 2}.

Множество называется числовым, если его элементами являются числа. Такими множествами, например, являются множество натуральных чисел, множество четных чисел, мно­ жество иррациональных чисел, множество комплексных чи­ сел и т. п.'

8

\